内容发布更新时间 : 2024/6/2 13:23:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

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3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的定义：

IV? G里至少存在一个右逆元a?1，能让

ae=a 对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元a?1，能让

aa?1=e

解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。

§2. 单位元、逆元、消去律

1. 若群G的每一个元都适合方程x2=e，那么G是交换群。 解：令a和b是G的任意两个元。由题设

?ab??ab?=?ab?=e 另一方面

?ab??ba?=ab2a=aea=a2=e 于是有?ab??ab?=?ab??ba?。利用消去律，得 ab=ba 所以G是交换群。

2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。 解：令G是一个有限群。设G有元a而a的阶n>2。

考察a?1。我们有

an?a?1?=e e?a?1?=?a?1?=e

nnn2设正整数m

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假设矛盾。这样，n也是a?1的阶，易见a?1?a。

否则 a2=aa?1=e

与n>2的假设矛盾。这样，我们就有一对不同的阶大于2的元a和

a?1。

设G还有元b，b?a，b?a?1，并且b的阶大于2。那么b?1的阶也大于2，并且b?1?b。我们也有b?1?a。

11?1=?b否则 e=b?1b=a?a a消去b?1得b=a?1，与假设矛盾。同样可证b?1=a?1。这样，除a和a?1外，又有一对不同的阶大于2的元b和b?1。

由于G是有限群，而G的阶大于2的元总是成对出现，所以G里这种元的个数一定是偶数。

3.假定G是一个阶是偶数的有限群。在G里阶等于2的元的个数一定是奇数。

解：由习题2知，G里阶大于2的元的个数是偶数。但G只有一个阶是1的元，就是单位元e。于是由于的阶是偶数，得G里阶等于2的元的个数是奇数。

4.一个有限群的每一个元的阶都有限。

解：令G是一个有限群而a是的任一元素，那么

a,a2,a3,...

不能都不相等。因此存在正整数 i，j，i边，得

（1） ai?j?e

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j，使ai?aj ，用a?j乘两