内容发布更新时间 : 2024/5/18 22:50:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第八章 无穷级数（数学一和数学三）

引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：

1?1?1?1???(?1)n?1??

历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 (1?1)?(1?1)???(1?1)???0 第二种 1?(1?1)?(1?1)??(1?1)???1 第三种 设1?1?1?1???(?1)n?1???S

则1??1?1?1?1????S

1?S?S, 2S?1, S?1 2这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？

3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概

念和性质需要作详细的讨论。

§ 8.1 常数项级数

（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念

无穷多个数u1,u2,u3,?,un,?依次相加所得到的表达式为数项级数（简称级数）。

?un?1?n?u1?u2?u3???un??称

Sn??uk?u1?u2?u3???un （n?1,2,3,?）称为级数的前n项的部分和，

k?1n?Sn?(n?1,2,3,?)称为部分和数列。

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若limSn(存在)?S，则称级数?un是收敛的，且其和为S，记以?un?S

n??n?1n?1??若limSn不存在，则称级数?un是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下

n???n?1可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）

2． 基本性质 （1） 如果

?u和?v皆收敛，a,b为常数，则?(aunnn?1n?1n?1???n?bvn)收敛，且等于a?un?b?vn

n?1n?1??（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不

变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数

?u收敛的必要条件是limunn?1n???n?0

（注：引言中提到的级数

?(?1)n?1?n?1,具有lim??1?不存在，因此收敛级数的必要条件不满

n?1n??足，

???1?n?1?n?1发散。调和级数

?n?1??111满足lim?0,但?却是发散的，所以满足

n??nnnn?1?收敛级数的必要条件limun?0，而

n???n?1） un收敛性尚不能确定。

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数）

?ar ?a?0?

n

n?0

?

当r?1时，

?arn?n?0?

?

a收敛 1?r当r?1时，

?ar

n?0

n

发散

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（2）p一级数

1 ?pn?1n?11当p>1时，?p收敛， 当p?1时?p发散

n?1nn?1n?1?21?（注：p>1时，?p的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知?） 2n6nn?1n?1???

二、正项级数敛散性的判别法

?Sn?是单调 若un?0?n?1,2,3,??则?un称为正项级数，这时Sn?1?Sn?n?1,2,3,??所以n?1?加数列，它是否收敛就只取决于Sn是否有上界，因此

?n?1?un收敛?Sn有上界，这是正项级数

比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。

1. 比较判别法

则?un收敛；如果?un发散，设c?0,当n?N时，cvn?un?0皆成立，如果?vn收敛，

n?1n?1n?1????则

?vn?1n发散。

2. 比较判别法的极限形式

设un?0,vn?0,(n?1,2,3,?) 若limn??un?A vn1) 当0

??un?1n?n与

?vn?1?n同时收敛或同时发散。

?2) 当A=0时，若

?vn?1?收敛，则

?un?1?n收敛。

3) 当A=+?时，若

?un?1n收敛，则

?vn?1n收敛。

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