内容发布更新时间 : 2024/12/22 17:37:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一个赫维赛德函数

这是一个在零点不连续的函数，也是“函数都连续”的反例。其图象如下：

微积分研究的基本对象是连续函数，即乖孩子，赫维赛德函数不是一个“坏”孩子，只是有点调皮，比他“坏”的孩子有的是。赫维赛德函数调皮的地方是在任何一个非零点都可微，且导数为零，而在零点不可微，其右导数为零，左导数为无穷大。

反例往往产生新问题，也可能是新思想的产生点。数学物理学家狄拉克很喜欢这个调皮鬼。他把赫维赛德函数的“导函数”取名为?函数，也就是后来人们常说的狄拉克函数，认为?函数在非零点处的值为0，在零点处的值为无穷大，而且在整个实数轴上可积，其积分为1。这完全颠覆了数学家关于函数、可微、可积的概念。

狄拉克为?函数找到一个用武之地，即分部积分：

显然，在右端的积分中完全与u(x)的导数无关。利用分部积分立即可得?函数在实数轴上的积分为1。

如果认为维赛德函数H(t)的“导函数”为?函数，那么当v(x)是连续函数时，用积分中值定理有大家熟悉的公式

这说明，?函数作用的对象是一个函数，而不是一个实数，是一个将函数映射到实数集的映射，于是，人们把它叫做广义函数，有时又叫算子，这是一个有别于古典函数的一个新概念。这就是发现。现在知道，广义函数是局部凸空间上的连续线性泛函，已经属于现代泛函分析的范畴。

既然，?算子作用的对象是一个函数，如果把函数看作是某个空间中的一个点，那么这个空间是多少维的呢？

这就要看这个空间的基底。如果这个函数可以展开成为傅立叶级数，即三角函数系是其基底，由于三角函数系是无穷多个，有整数那么多。于是，这个空间是无穷维空间，函数是无穷维空间中的一个点。

因此，?算子是无穷维空间上的算子，而经典微积分只是研究有穷维空间中经典函数的性质。有人把泛函分析叫做无穷维空间上的几何学

所以，?函数是物理学中打开无穷维空间几何学的第一把钥匙。同时，可以看出，经典微积分通向无穷维空间的时空隧道有两个，一是分部积分，一是傅立叶级数。这就是经典微积分耀人的光辉。

?函数通过分部积分通道，打开无穷维空间，把函数作为变量，在数理逻辑上，也使经典微积分从一阶逻辑走向高阶逻辑。

现在，?函数经常用于描述点源形成的场或一瞬时的量，例如点电荷、点热源、质点质量以及具有脉冲性质的物理现象等，并广泛应用于数学物理方程与场论，已成为大学本科的内容而没有什么新奇。其实，在物理上，连续分布的量与离散量并没有绝对的不同，只是在数学上才有根本的区别。这往往使数学家的思想没有物理学家那样的想象力。

爱因斯坦说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”

迪拉克是英国物理学家，中学时在职业学校读书，大概也不是什么重点中学。16岁上大学，本科学的是电气工程，21岁读数学方面的研究生，23岁开始研究由海森伯等人创立的量子力学，到24岁就发表题为《量子力学》的论文，并获剑桥大学物理学博士学位。1933年，与薛定谔、海森伯等共享当年诺贝尔物理学奖，时年31岁。