内容发布更新时间 : 2024/5/21 6:11:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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燕尾定理

例题精讲

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC

AS2ES3BS1S4DCFBDC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，

所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.

【例 1】 如右图，三角形ABC中，BD:DC?4:9，CE:EA?4:3，求AF:FB．

AFBODEC

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27

S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【答案】27:16

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【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?3:4，AE:CE?5:6，求AF:FB.

AFBODEC

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20 S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB

【答案】10:9

【巩固】如图，BD:DC?2:3,AE:CE?5:3,则AF:BF?

AECFBDG【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据燕尾定理有S△ABG:S△ACG?2:3?10:15,S△ABG:S△BCG?5:3?10:6,所以S△ACG:S△BCG?15:6?5:2?AF:BF 【答案】5:2

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?2:3，EA:CE?5:4，求AF:FB.

AFBODE

C【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15

S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【答案】15:8

【例 2】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?

AF84O403035EBDC

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【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设S△BOF?x，由题意知BD:DC?4:3根据燕尾定理,得

33S△ABO:S△ACO?S△BDO:S△CDO?4:3,所以S△ACO??(84?x)?63?x，

443再根据S△ABO:S△BCO?S△AOE:S△COE，列方程(84?x):(40?30)?(63?x?35):35解得x?56

4S△AOE:35?(56?84):(40?30),所以S△AOE?70

所以三角形ABC的面积是84?40?30?35?56?70?315

【答案】315

【例 3】 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交

于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEBDFCB33EF312CD

EFBDC【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，初赛 【解析】 方法一：连接CF，

SSBD1AE?，△ABF??1, 根据燕尾定理，△ABF?S△ACFDC2S△CBFEC

设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标 55所以SDCEF?S△ABC?

121211方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?，

33BFS△ABD11121??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以FES12233△ADE1111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，

223232122115而S△CDE???S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于．

323125【答案】

12

【巩固】如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

AEFFAEFAEBDCBDCBDC【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF，因为BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，