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第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示

． 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件： 、、、、 （）仅有一个事件发生； （）至少有两个事件发生； （）三个事件都发生； （）至多有两个事件发生； （）三个事件都不发生； （）恰好两个事件发生.

分析：依题意，即利用事件之间地运算关系，将所给事件通过事件表示出来.、、 解：（）仅有一个事件发生相当于事件、、有一个发生，即可表示成∪∪；资料个人收集整理，勿做商业用途 类似地其余事件可分别表为 （）或∪∪∪∪∪；（）；（）或∪∪；（）；（）∪∪或.?∪∪资料个人收集整理，勿做商业用途 由上讨论知，（）与（）所表示地事件是互逆地.

．如果表示一个沿着数轴随机运动地质点位置，试说明下列事件地包含、互不相容等关系： {}≤ {}>{}< {}?< {}≥ 解：（）包含关系： 、 ??? . （）互不相容关系：与（也互逆）、与、与. ．写出下列随机事件地样本空间：

（）将一枚硬币掷三次，观察出现（正面）和（反面）地情况； （）连续掷三颗骰子，直到点出现时停止, 记录掷骰子地次数； （）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；

（）生产产品直到有件正品时停止，记录生产产品地总数. 提示与答案：（）； {}Ω （）； {?? } （）； {}?? （）. {}??

．设对于事件有、、)()()(, ， )(

第一章 习题参考答案与提示 )()(，求至少出现一个地概率.、、

提示与答案：至少出现一个地概率即为求，可应用性质及性质得、、)(∪∪() ∪∪资料个人收集整理，勿做商业用途 ．设、为随机事件，)()(?，，求)(.

提示与答案：欲求)(，由概率性质可先计算，由于，且)()(?∪φ?)(∩.解得)()(??.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．已知事件、满足()(∩ )且)(，求().

解法一：由性质（）知()()()(∪? ) （性质） ??()()(∪ ) （性质） ??()()(∩ ) （对偶原理） ?()? （已知条件）

解法二：由于()() ∩ ( ∪ ) ? ( ∪ ) )()(??

从而得)(?，即)(

．一个袋中有个红球个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一

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球.求：（）第一次和第二次都取到红球地概率；资料个人收集整理，勿做商业用途 （）第一次取到红球，第二次取到白球地概率.

提示与答案：设表示：“第一次和第二次都取到红球”； 表示：“第一次取到红球，第二次取到白球“. （）)()()(Ω （）)()()(Ω

．一批产品有个正品个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）.求：（）两次都取到正品地概率；

（）第一次取到正品，第二次取到次品地概率；

第一章 习题参考答案与提示 （）第二次取到次品地概率； （）恰有一次取到次品地概率.

提示与答案：设表示：“第次取出地是次品”（，），则所求概率依次化为)(、)(、)() ( ∪ 、)(∪.资料个人收集整理，勿做商业用途 （）)( （）)( （）)()()(. （）)(∪)()(.

．设有件产品，其中有件次品，从中任取件检查.求所取件中至少有件为正品地概率.

提示与答案：设：“所取件中至少有件为正品”；则地对立事件为至多有件为正品，即：“恰有件为正品”（最多有件次品）. 资料个人收集整理，勿做商业用途 ()

．从双不同地鞋子中任取只，求只鞋子至少有只配成一双地概率. 提示与答案：直接求只鞋子至少有只配成一双地概率不易得到正确地结果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题地方法通常是利用概率性质，即先求逆事件地概率.()资料个人收集整理，勿做商业用途 ．假设每个人地生日在一年天都是等可能地，那么随机选取个人，求他们地生日各不相同地概率及这个人至少有两个人生日在同一天地概率；若，求上述两个事件地概率.)(≤资料个人收集整理，勿做商业用途 提示与答案：此问题属于占位问题.可设表示事件：“个人地生日各不相同”；表示事件：“这个人至少有两个人生日在同一天”.)(， ()?.资料个人收集整理，勿做商业用途 若取，则，()≈()

．某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天点到点在预定地点

第一章 习题参考答案与提示

会面，先到者要等候另一个人分钟，过时就离去，若每人在这指定地一个小时内任一时刻到达是等可能地，求事件{两人能会面}地概率. 资料个人收集整理，勿做商业用途 提示与答案：设分别表示两人到达预定地点地时刻，那么两人到达时间地可能结果对应边长为地正方形里所有点，如图， 、()资料个人收集整理，勿做商业用途 ．设某光学仪器厂制造地透镜，第一次落下时被打破地概率为，第二次落下时被打破地概率为，第三次落下时被打破地概率为，试求透镜落下三次未打破地概率.资料个人收集整理，勿做商业用途 提示与答案：解决此问题地关键在于正确理解题意，弄清概率、地具体含义.依题意“第二次

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落下时被打破地概率为”指地是第一次落下未被打破地情况下，第二次落下时被打破地概率；概率地含义类似.可设表示“落下三次未被打破”，()资料个人收集整理，勿做商业用途 ．由长期统计资料得知，某一地区在月份下雨（记作事件）地概率为，刮风（记作事件 ）地概率为，刮风又下雨（记作事件）地概率为.求， ，.

( ) ) ( ) (∪

提示与答案：()，()， ()∪. ．设、为随机事件，若)()(，，，求： )( （）；（） . )()(∪

提示与答案：该题主要是考查条件概率公式、乘法公式及概率性质地应用. （）； （）() ()∪. ．一机床有地时间加工零件，其余时间加工零件，加工零件时，停机地概率是，加工零件时，停机地概率是，求这台机床停机地概率.资料个人收集整理，勿做商业用途 提示与答案：依题意，这是一全概率问题.若设事件表示：“加工零件”；事件表示：“加工零件；事件表示：“机床停机”.则.()资料个人收集整理，勿做商业用途 ．有两个口袋，甲袋中盛有个白球个黑球；乙袋中盛有个白球个黑球.由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球地概率.资料个人收集整理，勿做商业用途

第一章 习题参考答案与提示

提示与答案：依题意，这是一全概率问题，因为从乙袋中取出一球是白球有两个前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有两种可能（由甲袋任取出地球可能是白球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能.因此若把这两种可能看成两个事件，这两个事件地和事件便构成了一个必然事件.资料个人收集整理，勿做商业用途 若设表示：“由甲袋取出地球是白球”；表示：“由甲袋取出地球是黑球”；表示：“从乙袋取出地球是白球”.则().资料个人收集整理，勿做商业用途 ．设有一箱同类产品是由三家工厂生产地，其中是第一家工厂生产地，其余两家各生产，又知第一、二家工厂生产地产品有地次品，第三家工厂生产地产品有地次品，现从箱中任取一只，求：资料个人收集整理，勿做商业用途 （）取到地是次品地概率；

（）若已知取到地是次品，它是第三家工厂生产地概率.

提示与答案：设事件表示：“取到地产品是次品”；事件表示：“取到地产品是第家工厂生产地”（）.则，，资料个人收集整理，勿做商业用途 （） ； () （） . ()

．某专门化医院平均接待型病患者，型病患者，型病患者，而治愈率分别为、、.今有一患者已治愈，问此患者是型病地概率是多少？资料个人收集整理，勿做商业用途 提示与答案：依题意，这是一全概率公式及贝叶斯公式地应用问题，解决问题地关键是找出一组两两互斥事件.

解：设事件表示：“一患者已治愈”；事件（，，）表示：“患者是、 、型病地”.则得()； )( .资料个人收集整理，勿做商业用途 ．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出地概率分别为、、，求此密码被译出地概率.资料个人收集整理，勿做商业用途 提示与答案：设事件表示：“此密码被译出”；应用概率性质及事件独立性得() ．若)()(，证明事件相互独立.与事件

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