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微积分（下）知识点

微积分下册知识点

第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、

共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设a??(ax,ay,az)，

b??(bx,by,bz)，

则

a??b??(ax?bx,ay?by,az?bz),

?a??(?ax,?ay,?az)；

5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：

r??x2?y2?z2；

2） 两

点

间

的

距

离公式：

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AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角?,?,?

x4） 方向余弦：cos??r?, cos??yzr?, cos??r? cos2??cos2??cos2??1

5） 投影：Prj?a??a?cos?，其中?为向量a?u与u?的夹角。

（二） 数量积，向量积

????1、 数量积：a?b?abcos?

a??a??a?21）

a??b??a??b?2）?0 a??b??axbx?ayby?azbz

??a??b?2、 向量积：c

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?????大小：absin?，方向：a,b,c符合右手规则

3、 柱面：

）a??a??0?1

a?//b??a??b??0?2）

?i?jk?a??b??axayazbb

xbyz??a???a??b?运算律：反交换律 b

（三） 曲面及其方程

1、 曲面方程的概念：S:f(x,y,z)?0 2、 旋转曲面：

yoz面上曲线C:f(y,z)?0，

绕y轴旋转一周：

f(y,?x2?z2)?0绕

z轴旋转一周：

f(?x2?y2,z)?0第 2 页 共 15 页

F(x,y)?0表示母线平行于

z轴，准线为

??F(x,y)?0???z?0的柱面 4、 二次曲面（不考）

x2y21） 椭圆锥面：a2?b2?z2 x22） 椭球面：a2?y2z2b2?c2?1

x222旋转椭球面：a2?yza2?c2?1

x2y2z23） 单叶双曲面：a2?b2?c2?1

x2y2z24） 双叶双曲面：a2?b2?c2?1

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x2y25） 椭圆抛物面：a2?b2?z

x226） 双曲抛物面（马鞍面）：a2?yb2?zx27） 椭圆柱面：a2?y2b2?1

x228） 双曲柱面：a2?yb2?1

9） 抛物柱面：x2?ay

（四） 空间曲线及其方程

??F(x,y,z)?01、 一般方程：???G(x,y,z)?0

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??x?x(t)?x?acost2、 参数方程：??y?y(t)?，如螺旋线：??y?asint? ?t)??z?z(??z?bt3、 空间曲线在坐标面上的投影

??F(x,y,z)?0???G(x,y,z)?0，消去z，得到曲线在面xoy上的投??H(x,y)?0影???z?0

（五） 平面及其方程 1、 点

法

式

方

程

：

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

法向量：n??(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)

2、 一般式方程：Ax?By?Cz?D?0