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第6讲 双曲线

[基础

题组练]

1．若双曲线C1：－

x2y2x2y2＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为45，28a2b2

则b＝( )

B．4D．8

A．2

C．6

解析：选B.由题意得，＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝45?c＝a2＋b2＝25?b＝4，故选B.

ba2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－

B.D.

|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )

x2y2a2b2x2y2－＝132x2y2－＝123A.

x22

－y＝1 42

C．x－＝1

y24

－|PF2|＝2a＝4b，?|PF1|解析：选A.由题意可得?c2＝a2＋b2，?2c＝25，

解得??a2＝4，???b2＝1，则该双曲线方程为－y＝1.

x242

3．(2019·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：－x2y2＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐

m22m＋6

近线方程为( )A．y＝±2xC．y＝±2x2

2

2

B．y＝±2x212D．y＝±x2

解析：选C.由题意可得c＝m＋2m＋6＝(m＋1)＋5，当m＝－1时，c取得最小值，即焦距2c取得最

小值，此时双曲线M的方程为x－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C.

2

y244．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线

的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )B．(1，2)D.?1，?2A．(2，＋∞)

x2y2a2b2??3????C.?，＋∞??3?2精选中小学试题、试卷、教案资料

解析：选A.由双曲线的性质可得|AF|＝，即以AB为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a＋c，由题意可知>a＋c，整理得c－2a－ac>0，两边同除以a，则e－e－2>0，解得e>2或e<－1，

又双曲线的离心率大于1，所以e>2.

b2a2

b2ab2a222

5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．

??2c＝6，??a＝2，x2y222

解析：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1.由题意得?即?又c＝a＋

a2b2?2a＝4，??c＝3.?x2y2y2x22

b2，故b＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1.同

45a21b21

理可得??a1＝2，???c1＝3，所以b21＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝

y2x245x2y2451或－＝1.答案：－＝1或

y2x245x2y245y2x2x2y2－＝16．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，45a2b2

－4)，则此双曲线的离心率为________．

答案：－＝1或－＝1

x2y245y2x245 6．若双曲线－x2y2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．

a2b2

解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，所以＝.又b＝c－a，所以

2

b4a3b216a29222

c2－a216＝，a2953即e－1＝，所以e＝，所以e＝.

答案：

1692

259537．已知椭圆D：＋x2y222

＝1与圆M：x＋(y－5)＝9，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近

5025

线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.

设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以渐近线方程为bx±ay＝0且a＋b＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.

所以

2

2

x2y2a2b2|5a|＝3，得a＝3，b＝4，

b2＋a2x2y2＝1.916 所以双曲线G的方程为－

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8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为43.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋22与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．

解：(1)设双曲线C的方程为

2

2

2

x2y2－＝1(a>0，b>0)．a2b2x2y2＝1.

124 由已知得：a＝23，c＝4，再由a＋b＝c，得b＝4，所以双曲线C的方程为－

2

(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋22与－

x2y222

＝1联立，得(1－3k)x－122kx－36＝0.由题

124

意知

?Δ＝（－122k）2＋4×（1－3k2）×36>0，?2k<0，?xA＋xB＝112－3k2?－36xAxB＝?1－3k2>0，

解得

1－3k2≠0，3

3

所以k的取值范围为??3?，1??3?[综合题组练]

1．(2018·高考天津卷)已知双曲线－x2y2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线

a2b2与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线

B.D.

的方程为( )

x2y2－＝193x2y2－＝1124A.

x2y2－＝1 39C.

x2y2－＝1412解析：选A.由题意不妨设A?c，?，B?c，－?，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，

故d1＋d2＝

则d1＝

??b2?a???b2?a?ba|bc－b2||bc＋b2|，d2＝，

a2＋b2a2＋b2

|bc－b2||bc＋b2|bc－b2＋bc＋b2＋＝＝2b＝6，故b＝3.

ca2＋b2a2＋b2 又＝cac2＝a2a2＋b2＝a2b2x2y21＋＝2，所以b2＝3a2，得a2＝3.所以双曲线的方程为－＝1.a239