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2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，理1，5分】设集合A?{x|?2?x?2}，Z为整数集，则集合AIZ中元素的个数是（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】C

【解析】由题可知， AIZ???2,?1,0,1,2?，则AIZ中元素的个数为5，故选C．

【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的

定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．

（2）【2016年四川，理2，5分】设i为虚数单位，则(x?i)6的展开式中含x4的项为（ ） （A）?15x4 （B）15x4 （C）?20ix4 （D）20ix4 【答案】A

242xi??15x4，故选A． 【解析】由题可知，含x4的项为C6【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容

易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式(x?i)6的展开式可以改为(i?x)6，则

其通项为C6ri6?rxr，即含x4的项为C64i6?4x4??15x4．

π??（3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数y?sin?2x??的图象，只需把函数y?sin2x的图象上所有的点

3??（ ）

ππ（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度

33 ππ（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度

66

【答案】D

π???π????【解析】由题可知，y?sin?2x???sin?2?x???，则只需把y?sin2x的图象向右平移个单位，故选D．

3?6??6???【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数f(x)?Asin(ωx?φ)的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变

1换有两种顺序：一种y?sinx的图象向左平移φ个单位得y?sin(x?φ)，再把横坐标变为原来的倍，

ω1纵坐标不变，得y?sin(ωx?φ)的图象，另一种是把y?sinx的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不

ωφ变，得y?sinωx的图象，向左平移个单位得y?sin(ωx?φ)的图象．

ω（4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A）24 （B）48 （C）60 （D）72 【答案】D

【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个

414位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A4，则满足条件的五位数有C3?A4?72，故选D．

【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的

完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．

（5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发

资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.12?0.05，lg1.3?0.11，lg2?0.30）

（A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 【答案】B

x【解析】设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130?1?12%??200，

200lg2?lg1.3??3.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年，故选B． 130lg1.12【点评】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注

意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．

（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他

在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2．则输出v的值为（ ）

（A）9 （B）18 （C）20 （D）35 【答案】B

【解析】初始值n?3，x?2，程序运行过程如下表所示v?1，i?2，v?1?2?2?4，i?1，

v?4?2?1?9，i?0，v?9?2?0?18，i??1，跳出循环，输出v?18，故选B．

【点评】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次

循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．

?y?x?1,?（7）【2016年四川，理7，5分】设p：实数x，y满足(x?1)2?(y?1)2?2，实数x，y满足?y?1?x, q：

?y?1,?解得x?log1.12则p是q的（ ）

（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A

22【解析】如图，半径为2的圆内区域所有点（包括边界）； ?x?1???y?1??2① 表示圆心为?1,1?，

?y≥x?1,??y≥1?x,② 表示?ABC内部区域所有点（包括边界）．实数x,y满足②则必然满足①， ?y≤1?反之不成立．则p是q的必要不充分条件，故选A．

【点评】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否

成立．这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．

（8）【2016年四川，理8，5分】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2?2px(p?0)上任意一点，M是

线段PF上的点，且PM?2MF，则直线OM斜率的最大值为（ ） （A）【答案】C

?y02??p?,y0?，显然，当y0?0时，kOM?0；y0?0 【解析】如图，由题可知F?,0?，设P点坐标为??2??2p?322 （B） （C） （D）1 323时，kOM?0，要求kOM最大值，不妨设y0?0． uuuuruuuruuuuruuur1uuuruuur1uuuruuurr2uuur?y02py0?1uuu?,?， 则OM?OF?FM?OF?FP?OF?OP?OF?OP?OF??33336p33??y0222kOM?23?≤?，当且仅当y02?2p2等号成立，故选C．

y02py0?2p22?py06p3??【点评】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量

法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出 后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．

??lnx,0?x?1,（9）【2016年四川，理9，5分】设直线l1，l2分别是函数f(x)??图象上点P1，P2处的切线，l1与 lnx,x?1,?l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则?PAB的面积的取值范围是（ ）

（A）?0,1? （B）(0,2) （C）(0,??) （D）(1,??) 【答案】A

【解析】解法1：设P，易知x1?1，x2?1，kl??1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1?x2)111，?x1x2?1，则直线l1： ,kl2?x1x2y??x1?1?lnx1，l2:y?x?lnx2?1，与y轴的交点为(0,1?lnx1),(0,lnx2?1)，设a?x2?1，则交点横x1x2?坐标为，与y轴的交点为(0,lna?1),(0,lna?1)，则S?PAB??2?，故S?PAB?(0,1)

1112a?a?a?aaa1解法2：特殊值法，若x1?x2?1，可算出S?PAB?1，Qx?1，故S?PAB?1，排除BC；令x1?,x2?2，算

2出S?PAB?1，故选A．

【点评】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点

的关系，同时得出切线方程，从而得点A,B坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积，题中把面积用x1表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（10）【2016年四川，理10，5分】在平面内，定点A，B，C，D满足DA=DB=DC，DA?DB?DB?DC?DC?DA??2，

uuuur2uuuruuuuruuuur动点P，M满足AP=1，PM?MC，则BM的最大值是（ ） （A）【答案】B

37?6337?2334349 （B） （C） （D）

44442122uuuruuuruuurDA?DB?DC【解析】由题意，，所以D到A,B,C三点的距离相等，D是?ABC的外心；

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur DA?DB?DB?DC?DC?DA??2?DA?DB?DB?DC?DB?DA?DC?DB?CA?0，所以DB?AC，

??同理可得，DA?BC,DC?AB，从而D是?ABC的垂心；??ABC的外心与垂心重合，因此?ABC是

uuuruuuruuuruuuruuuruuur?1?正三角形，且D是?ABC的中心；DA?DB?DADBcos?ADB?DADB??????2

?2?uuur?DA?2所以正三角形?ABC的边长为23；我们以A为原点建立直角坐标系，

uuurB,C,D三点坐标分别为B3,?3,C3,3, D?2,0?。由AP?1，设P点的坐标为

uuuuruuuur?cos?,sin??，其中???0,2π?，而PM?MC，即M是PC的中点，可以写出M的坐

???????237?12sin???3?cos?3?sin??2??uuuur2?cos??3??33?sin??6?37?1249，, ?标为M?则???BM????????22????22444?????uuuur2249???当时，BM取得最大值，故选B．

43【点评】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一

个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出?ADC??ADB??BDC?120?，且uuuruuuruuurDA?DB?DC?2，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出A,B,C,D坐标，同时动点P的

uuuur2?x?1??y?33轨迹是圆，BM?42??2，因此可用圆的性质得出最值．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．

ππ（11）【2016年四川，理11，5分】cos2?sin2= ．

882【答案】

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