内容发布更新时间 : 2024/10/18 23:28:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列?xn?,如果存在常数A,对任给??0,存在正整数N,使当n?N时,恒有

xn?A??,则称A是数列?xn?的当n趋于无穷时的极限,或称数列?xn?收敛于A,记为limxn?A.若

n???xn?的极限不存在,则称数列?xn?发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列?xn?收敛,即limxn?A,则极限是唯一的．

n??(2)有界性：若limxn?A,则数列?xn?有界,即存在M?0,使得对?n均有xn?M.

n??(3)局部保号性：设limxn?A,且A?0?或A?0?,则存在正整数N,当n?N时,有xn?0?或xn?0?.

n??(4)若数列收敛于A,则它的任何子列也收敛于极限A.

（二）函数极限的定义

名称 当x?x0时,f?x?以表达式 x?x0任给 存在 当…时 0?x?x0?? x?X 恒有 f?x??A?? f?x??A?? A为极限 当x??时, f?x?以limf?x??A ??0 ??0 X?0 A为极限 当x?x0?0时, f?x?以A为右极限 limf?x??A x????0 ?x?x0limf?x??A ?def?f?x0?0?limf?x??A ??0 ??0 x0?x?x0?? f?x??A?? 当x?x0?0时, f?x?以A为左极限 ?x?x0?def?f?x0?0?f?x???0 ??0 x0???x?x0 f?x??A?? 当x???时, x???limf?x??A 以A为极限 ?def?f??????0 X?0 x?X f?x??A?? 当x???时, f?x?以x???limf?x??A A为极限 ?def?f??????0 X?0 x??X f?x??A?? （三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：limf?x??A?对任意一串xn?x0?xn?x0,n?1,2,x?x0?,都有

n??． limf?xn??Af?x??lim?f?x??A; 2.充要条件：(1)limf(x)?A?lim?x?x0x?x0x?x0 (2)limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A.

x??x???x???3.柯西准则：limf?x??A?对任意给定的??0,存在??0,当

x?x00?x1?x0??,0?x2?x0??时,有f?x1??f?x2???.

（x)?f(x)??(x),且lim?(x)?lim?(x)?A,则4.夹逼准则：若存在??0,当0?x?x0??时,有?x?x0x?x0x?x0limf(x)?A.

5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的x1,x2,x1?x2,有f?x1??f?x2?(或f?x1??f?x2?),且存在

常数M,使f?x??M(或f?x??M),则limf?x?存在.

x???（四）无穷小量的比较 (重点记忆)

1.无穷小量阶的定义,设lim?(x)?0,lim?(x)?0.

(1)若lim?(x)?0,则称?(x)是比?（x)高阶的无穷小量. ?(x)(2)若lim(3)若lim(4)若lim(5)若lim?(x)??,则?(x)是比（?x)低阶的无穷小量. ?(x)?(x)?c(c?0),则称?(x)与?（x)是同阶无穷小量. ?(x)?(x)?1,则称?(x)与?（x)是等价的无穷小量,记为?(x)??(x). ?(x)?(x)?c(c?0),k?0,则称?(x)是?（x)的k阶无穷小量 ?k(x)2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当x?0时,

sinx?arcsinx??tanx?1?coxs? ~x,?arctanx?(1?x?)?ln(1?x)??ex?1??12~x 21?~x??是实常数?（五）重要定理 (必记内容,理解掌握)

定理1 limf(x)?A?f?(x0)?f?(x0)?A.

x?x0定理2 limf(x)?A?f(x)?A?a(x),其中lima(x)?0.

x?x0x?x0定理3 (保号定理)：设limf(x)?A,又A?0(或A?0),则?一个??0,当

x?x0x?(x0??,x0??),且x?x0时，f(x)?0(或f(x)?0).

定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.

（x)?f(x)??(x),且 定理5 (夹逼定理)：设在x0的领域内,恒有?x?x0lim?(x)?lim?(x)?A,则limf(x)?A．

x?x0x?x0定理6 无穷小量的性质：

(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．

定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设limf?x??A,limg?x??B,则 (1)lim(f(x)?g(x))?A?B (2)limf(x)g(x)?A?B (3)limf(x)A???(B?0) g(x)B定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设f?x?连续,则f?x?也连续．

（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)

(1)limsinx?1

x?0x1xx?0n??(2)lim(1?x)?e,lim(1?)n?e.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设

1n,且f?x??0则有limlimf?x??0sinf?x?f?x??1,lim??1?f?x???1f?x??e)

a0xn?a1xn?1?(3)limx??bxm?bxm?1?01?0,????n?m??an?1x?an?a0??,??n?m．

?bm?1x?bm?b0???,???n?m(4)函数f?x?在x?x0处连续?f??x0??f??x0??f?x0?. (5)当x???时,以下各函数趋于??的速度

lnx,xa?a?0?,ax(a?1),xx速度由慢到快??? ???

lnn,na?a?0?,an(a?1),n!,nn速度由慢到快(6)几个常用极限

n??limna?a?0??1, limnn?1, limarctanx?n??x????2

x???limarctanx???2 limarccotx?0, limarccotx??

x???x???x???xx?1. limex?0, limex??, lim?x???x?0（七）连续函数的概念

1. f?x?在x?x0处连续,需满足三个条件：