内容发布更新时间 : 2024/5/22 22:12:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高中数学苏教版必修5第3章《3.4.1 基本不等式的证明》

优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

1教学目标

一、知识与技能

1.学会推导并掌握基本不等式定理;

2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题. 二、过程与方法

1.通过实例探究抽象基本不等式定理;

2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要从数和形两方面深入地探究不等式的证明。 3.培养学生良好的数学品质. 三、情感、态度和价值观

1.体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;

2.通过基本不等式的几何解释,丰富学生数形结合的想象力; 3.通过对变式形的证明,让学生感受数学文化,提高数学素养。

2重点难点

教学重点:基本不等式定理的证明及应用。 教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。

3教学过程

3.1第一学时

3.1.1教学活动

活动1【讲授】基本不等式的证明 一.问题情境

1.情境:把一个物体放在天平的盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为 ,如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计),那么 并非物体的重量。不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘子上,此时称得物体的质量为 。

2.问题:如何合理地表示物体的质量呢?

二.学生活动 引导学生作如下思考:

(1)把两次称得的物体的质量“平均”一下; (2)根据力学原理:

设天平的两臂长分别为 ,物体的质量为 ,

则 ……① ……②, ①,②相乘在除以 ,得 (3)思考 与 有怎么样的大小关

系? 三.建构数学

1.算术平均数与几何平均数:设 为正数,则 称为 的算术平均数, 称为 的几何平均数。 2.用具体数据验证猜想得: 不等式: >0, >0)

即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两数相等时两者相等。 3.证明结论:

(1)证明方法:比较法,分析法,综合法 证法1(比较法): 当且仅当 即 时,取“ ”。 证法2(分析法):要证 , 只要证

只要证 , 只要证

因为最后一个不等式成立,所以 成立, 当且仅当 即 时,取“ ”。

证法3(综合法):对于正数 有 , (2)强调说明:

①基本不等式成立条件: , ②思考 行不行?

③当且仅当 时,取“ ”的含义:一方面是当 时取等号,即 ; 另一方面是仅当 时取等号,即 。

4.基本不等式定理

基本不等式:不等式 称为基本不等式 (当且仅当 时取“=”号) 5.基本不等式 的几何解释:

(如图1)以 为直径作圆,在直径 上取一点 , 过 作弦 ,则 , 从而 ,而半径

四、质疑答辩,发展思维

1.思维探究:判断下列命题是否正确,若不正确,请说明理由;若正确,请证明。 (1) (正确,证明略)

(2) (不正确,a = -1) (3) (不正确,a = -1,b = 1) 2.探究拓展:教师自制风车,让学生把教师自制风车转起来,这是学生小时候的得意玩具;手持风车把手,来一个360度的旋转,不但风车转的漂亮,课堂气氛也活跃,学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐。

引入情景:(投影出图示)如图是北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等关系和不等关系吗?

提问1:我们把会标“风车”造型抽象成图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的长为a、b,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢? 生答: ,

提问2:那4个直角三角形的面积和呢? 生答:2ab

提问3:好,根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等式, 2ab。什么时候这两部分面积相等呢?

生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即 时,正方形EFGH变成一个点,这时有 = 2ab 3.基本不等式定理变式:

如果 ,那么 (当且仅当 时取“=”) 五.数学运用

例1、已知函数 ,求此函数的最小值。