内容发布更新时间 : 2024/12/23 19:31:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

无穷多解时求解?

2?21??2?? 解 B??25???42?

??2?45?????1????42?25?????? ~01??1??1???00(1??)(10??)(1??)(4??)??? 要使方程组有唯一解? 必须R(A)?R(B)?3? 即必须 (1??)(10??)?0?

所以当??1且??10时? 方程组有唯一解. 要使方程组无解? 必须R(A)?R(B)? 即必须 (1??)(10??)?0且(1??)(4??)?0? 所以当??10时? 方程组无解.

要使方程组有无穷多解? 必须R(A)?R(B)?3? 即必须 (1??)(10??)?0且(1??)(4??)?0?

所以当??1时? 方程组有无穷多解?此时，增广矩阵为

?12?21? B~?0000??

?0000???方程组的解为

??x1??x2?x3?1 ?x2? x2?

??x3? x3?x1???2??2??1?或 ?x2??k1?1??k2?0???0?(k1? k2为任意常数)?

?x??0??1??0??????3??? 18? 证明R(A)?1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT? 使A?abT?

证明 必要性? 由R(A)?1知A的标准形为

?1?0 ?????0?00???0????????????0??1?0???0?(1, 0, ???, 0)? ???????????0???0?即存在可逆矩阵P和Q? 使

?1??1??0????10 PAQ???(1, 0, ???, 0)? 或A?P??(1, 0, ???, 0)Q?1? ???????0??0??????1???T?10 令a?P??? b?(1? 0? ???? 0)Q?1? 则a是非零列向量? bT是非????0???零行向量? 且A?abT?

充分性? 因为a与bT是都是非零向量? 所以A是非零矩阵? 从而R(A)?1? 因为

1?R(A)?R(abT)?min{R(a)? R(bT)}?min{1? 1}?1? 所以R(A)?1?

19? 设A为m?n矩阵? 证明

(1)方程AX?Em有解的充分必要条件是R(A)?m? 证明 由定理7? 方程AX?Em有解的充分必要条件是

R(A)?R(A? Em)?

而| Em|是矩阵(A? Em)的最高阶非零子式? 故R(A)?R(A? Em)?m? 因此? 方程AX?Em有解的充分必要条件是R(A)?m? (2)方程YA?En有解的充分必要条件是R(A)?n?

证明 注意? 方程YA?En有解的充分必要条件是ATYT?En有解? 由(1) ATYT?En有解的充分必要条件是R(AT)?n? 因此，方程YA?En有解的充分必要条件是R(A)?R(AT)?n?

20? 设A为m?n矩阵? 证明? 若AX?AY? 且R(A)?n? 则X?Y? 证明 由AX?AY? 得A(X?Y)?O? 因为R(A)?n? 由定理9? 方程A(X?Y)?O只有零解? 即X?Y?O? 也就是X?Y?

第四章 向量组的线性相关性

1? 设v1?(1? 1? 0)T? v2?(0? 1? 1)T? v3?(3? 4? 0)T? 求v1?v2及3v1?2v2?v3?

解 v1?v2?(1? 1? 0)T?(0? 1? 1)T

?(1?0? 1?1? 0?1)T

?(1? 0? ?1)T?

3v1?2v2?v3?3(1? 1? 0)T ?2(0? 1? 1)T ?(3? 4? 0)T ?(3?1?2?0?3? 3?1?2?1?4? 3?0?2?1?0)T ?(0? 1? 2)T?

2? 设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)? 求a? 其中a1?(2? 5? 1? 3)T? a2?(10? 1? 5? 10)T? a3?(4? 1? ?1? 1)T? 解 由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得

a?1(3a1?2a2?5a3)

6 ?1[3(2, 5, 1, 3)T?2(10, 1, 5, 10)T?5(4, 1, ?1, 1)T]

6 ?(1? 2? 3? 4)T? 3? 已知向量组

A? a1?(0? 1? 2? 3)T? a2?(3? 0? 1? 2)T? a3?(2? 3? 0? 1)T? B? b1?(2? 1? 1? 2)T? b2?(0? ?2? 1? 1)T? b3?(4? 4? 1? 3)T? 证明B组能由A组线性表示? 但A组不能由B组线性表示? 证明 由

?0?1 (A, B)??2?3??1?0 ~ ?0?0?r30122301204??1r?1?24?~0 111??0?213???0031?24?32204? 1?6?15?7?2?8?17?9??031?24?1?6?15?7? 041?35?00000??031?6020041?24??1r??15?7?~0 5?1525??0?01?35???知R(A)?R(A? B)?3? 所以B组能由A组线性表示? 由

?204??102??1?1?24?r?0?22?r?0 B??~~111??01?1??0?213??01?1??0?????

4? 已知向量组

A? a1?(0? 1? 1)T? a2?(1? 1? 0)T?

01002??1? 0?0??知R(B)?2? 因为R(B)?R(B? A)? 所以A组不能由B组线性表示?

B? b1?(?1? 0? 1)T? b2?(1? 2? 1)T? b3?(3? 2? ?1)T? 证明A组与B组等价? 证明 由

??11301?r??11301?r??11301?(B, A)??02211?~?02211?~?02211??

?11?110??02211??00000???????知R(B)?R(B? A)?2? 显然在A中有二阶非零子式? 故R(A)?2? 又R(A)?R(B? A)?2? 所以R(A)?2? 从而R(A)?R(B)?R(A? B)? 因此A组与B组等价?