内容发布更新时间 : 2025/5/16 0:24:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高考必考题突破讲座(四)
1．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，
AB＝AE＝2.
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．
解析 (1)因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AE.因为AC∩AE＝A，所以BD⊥平面ACFE.
→→
(2)以O为原点，OA，OB的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，3，0)，D(0，－3，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，→??n·OB＝0，→
a)(a>0)，OF＝(－1,0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有?
→??n·OE＝0，
?3y＝0，
即?
?x＋2z＝0，
＝
|2＋a|
→
→|OF·n|
令z＝1，则n＝(－2,0,1)，由题意得sin 45°＝|cos〈OF，n〉|＝→|OF||n|
→→2
＝.因为a>0，所以解得a＝3.所以OF＝(－1,0,3)，BE＝(1，－3，2)，
a2＋1·52
→→
→→OF·BE－1＋65
所以cos〈OF，BE〉＝＝＝.故异面直线OF与BE所成的角的余弦值
→→10·84|OF|·|BE|为5. 4
2．(2019·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝π
，O为AB边上一点，且3OB＝4
3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.
(1)求证：平面PBAD⊥平面COD；
(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值．
1
πππ
解析 (1)证明：因为OB＝OC，又因为∠ABC＝，所以∠OCB＝，所以∠BOC＝，即
442
CO⊥AB.又PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，所以PO⊥OC.又因为PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O，所以CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PBAD.又CO?平面COD，所以平面PBAD⊥平面COD.
(2)以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设|OA|＝1，则|PO|＝|OB|＝|OC|＝2，|DA|＝1.则C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，
D(0，－1,1)，所以PD＝(0，－1，－1)，BC＝(2，－2,0)，BD＝(0，－3,1)．设平面BDC→??n·BC＝0，
的法向量为n＝(x，y，z)，所以?
→??n·BD＝0，
→→→
?2x－2y＝0，?
所以?
??－3y＋z＝0，
令y＝1，则x＝1，
?→?PD·n??z＝3，所以n＝(1,1,3)．设PD与平面BDC所成的角为θ，则sin θ＝
?→?＝?|PD||n|??1×0＋1×－1＋3×－1?222
.即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为?222222?＝
?0＋－1＋－1×1＋1＋3?11
222
. 11
3．(2019·湖北武汉调考)如图， 四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．
解析 方法一 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
2
→
则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)，设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0，且AS＝(x－2，→→→→
y－2，z，)，BS＝(x，y－2，z).DS＝(x－1，y，z)．由|AS|＝|BS|，得＝x＋y－2
2
2
x－2
2
＋y－2
2
＋z2
→222
＋z，得x＝1，由|DS|＝1得y＋z＝1，①
→22
由|BS|＝2得y＋z－4y＋1＝0，②
133??1
由①②解得y＝，z＝，所以S?1，，?，
22?22?→
AS＝?－1，－，
?
?
32
→→→→3?→?33?→?13?
?，BS＝?1，－，?，DS＝?0，，?，所以DS·AS＝0，DS·BS2?22???22?
＝0，所以DS⊥AS，DS⊥BS，
又AS∩DS＝S，所以SD⊥平面SAB.
→?→33?→
(2)设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c)，BS＝?1，－，?，CB＝(0,2,0)，AB＝
22??→??m·BS＝0，
(－2,0,0)，由?
→??m·CB＝0
??a－3b＋3c＝0，
2得?2
??2b＝0，
所以可取m＝(－3，0,2)，故
→
→m·AB－2×－3
AB与平面SBC所成的角的正弦值为cos〈m，AB〉＝＝
→7×2|m|·|AB|
方法二 (1)证明：如下图，取AB的中点E，连接DE，SE，
＝
21. 7
则四边形BCDE为矩形，所以DE＝CB＝2，所以AD＝DE＋AE＝5.因为侧面SAB为等边三角形，AB＝2，所以SA＝SB＝AB＝2，且SE＝3，又SD＝1，所以SA＋SD＝AD，SE＋SD＝ED，所以SD⊥SA，SD⊥SB，又AS∩DS＝S，所以SD⊥平面SAB.
(2)作S在DE上的射影G，因为AB⊥SE，AB⊥DE，AB⊥平面SDE，所以平面SDE⊥平面
2
2
2
2
2
2
2
2
ABCD，两平面的交线为DE，所以SG⊥平面ABCD，在Rt△DSE中，由SD·SE＝DE·SG得1×3
＝2×SG，所以SG＝
3
，作A在平面SBC上的射影H，则∠ABH为AB与平面SBC所成的角，2
因为CD∥AB，AB⊥平面SDE，所以CD⊥平面SDE，所以CD⊥SD，在Rt△CDS中，由CD＝SD 3