2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测:综合测试卷 Word版含解析 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:35:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

三、解答题

17.已知a>0,设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1. (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;

(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解析:(1)由x2-4ax+3a2>0得(x-a)(x-3a)<0,∴a0得(x-a)(x-3a)<0, 所以,p为真时实数x的取值范围是a

因为p是q的必要不充分条件,所以a≤2且4≤3a.

4?

所以实数a的取值范围为:??3,2?.

18.如图所示,四边形ABCD为菱形,且∠ABC=120°,AB=2,BE∥DF,且BE=DF=3,DF⊥平面ABCD.

(1)求证:平面ABE⊥平面ABCD;

(2)求平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值. 又BE?平面ABE,∴平面ABE⊥平面ABCD.

解析:(1)∵BE∥DF,DF⊥平面ABCD,∴BE⊥平面ABCD, (2)设AC与BD的交点为O,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则A(3,0,0),B(0,1,0),E(0,1,3),F(0,-1,3), →→→

∴EF=(0,-2,0),AE=(-3,1,3),AB=(-3,1,0) →?n1=0?EF·

设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,z1),则?,

→?n1=0?AE·

??-2y1=0即?,

-3x+y+3z=0?111?

令x1=1,则y1=0,z1=0,∴n1=(1,0,1).

→?n2=0?AE·设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则?,

→?n2=0?AB·

??-3x2+y2+3z2=0

即?, ?-3x2+y2=0?

令x2=1,则y2=3,z2=0,∴n2=(1,3,0). n1·n212∴cos〈n1,n2〉===,

|n1|·|n2|2×2414

∴sin〈n1,n2〉=,

4∴平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值为

14. 4

19.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=22,BC=42,PA=4.

(1)求证:AB⊥PC;

(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45°,如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值;如果不存在,请说明理由.

解析:(1)∵AD=CD=22,BC=42,∴AB=AC=4,∴AB⊥AC

∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,∴AB⊥平面PAC,PC?平面PAC,∴AB⊥PC; (2)以A为原点,以过A平行于CD的直线为x轴, AD,AP所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(22,22,0),D(0,22,0),C(22,

→→

22,0),设PM=λPD,0<λ<1,M(0,22λ,4-4λ),

→→

AM=(0,22λ,4-4λ),AC=(22,22,0)

→??AM=0?m·?22λy1+?4-4λ?z1=0

设平面MAC的法向量m=(x1,y1,z1),则?,即?

→?22x1+22y1=0??AC=0?m·

2λ??→

则m=?1,-1,,又平面ACD的法向量为AP=(0,0,4), ?-2λ+2??

?→??AP·m→?∴|cos 〈AP,m〉|=?=?→

|m|???|AP|·

?4??

?2λ??2+???2-2λ??

2

42λ2-2λ

=cos 45°

2424?→?1024?解得:λ=或λ=2(舍),M?0,,BM=-22,,, 333?33???

平面MAC的法向量为m=(1,-1,2),设BM与平面MAC所成角为θ,则

→?BM·m?421→

sin θ=|cos 〈BM,m〉|=?==. ?2→

|m|?2×122?|BM|·

3

x2y22

20.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)过点(2,1)且离心率为.

ab2

(1)求椭圆C的方程;

→→

(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且满足PB=2PA.若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

21

解析:(1)由已知点代入椭圆方程得2+2=1

ab

2c2

由e=得=可转化为a2=2b2,由以上两式解得a2=4,b2=2

2a2

x2y2

所以椭圆C的方程为:+=1.

42

(2)存在这样的直线.

→→

当l的斜率不存在时,显然不满足PB=2PA,

所以设所求直线方程l:y=kx+3代入椭圆方程化简得: (1+2k2)x2+12kx+14=0

12k14

x1+x2=-① x.② 1x2=

1+2k21+2k2

7

Δ=(12k)2-4×14×(1+2k2)>0,k2>,

4

设所求直线与椭圆相交两点A(x1,y1),B(x2,y2)

→→

由已知条件PB=2PA可得x2=2x1,③

77

综合上述①②③式子可解得k2=>符合题意,

2414

所以所求直线方程为:y=±x+3.

2

21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,M点在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=6,AB=4.

(1)求证:M为PB的中点;

(2)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

解析:(1)证明:如图,设AC∩BD=O,∵ABCD为正方形,∴O为BD的中点,

连接OM,∵PD∥平面MAC,PD?平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM,

BOBM

∴PD∥OM,则=,即M为PB的中点;

BDBP(2)解:取AD中点G,∵PA=PD,∴PG⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,

且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG 由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,则OG⊥AD.

以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,由PA=PD=6,AB=4,得D(2,0,0),A(-2,0,0),P(0,0,2),C(2,4,0),B(-2,4,0),M?-1,2,

2? ,2?

?

→→

DP=(-2,0,2),DB=(-4,4,0).

设平面的一个法向量为m=(x,y,z),

→??DP=0?m·?-2x+2z=0

则由?,得?,取z=2,得m=(1,1,2).

→???-4x+4y=0DB=0?m·

2→

CM=?-3,-2,?,

2??

∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为:

?→?CM·m??→

|cos〈CM,m〉|=??=?→

|m|???|CM|·

=26

. 9

??1? 9+4+×2

2?

-4

x2y2622.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:2+2=1(a>b>0)的焦距为2,且过点?2,?.

ab2??

(1)求椭圆C的方程;

3

(2)P,M,N是C上不同的三点,若直线PM与直线PN的斜率之积为-,证明:M,N

4

两点的横坐标之和为常数.

x2y26

解析:(1)由题意椭圆C:2+2=1(a>b>0)的焦距为2,且过点?2,?,

ab2??

322x2y2

所以c=1,2+2=1,解得a=2,b=3,所以椭圆C的标准方程为+=1

ab43

(2)设P,M,N三点坐标分别为(xP,yP),(xM,yM),(xN,yN), 设直线PM,PN斜率分别为k1,k2,则直线PM方程为y-yP=k1(x-xP)