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第二轮复习之 几何三大变换
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题型一：平移
典题精练
【例1】 如图所示，△ABC是等边三角形，△A1B1C1的边A1B1、B1C1、C1A1交△ABC各边分别
于C2、C3、A2、A3、B2、B3．已知A2C3?C2B3?B2A3，且C2C32?B2B32?A2A32，求
证：A1B1?AC11．
AC1A3A2B1
B2BB3A1C2C3C
222【解析】 要证A1B1?AC11，只需证明?B1AC11?90?，而已知C2C3?B2B3?A2A3，
但C2C3、B2B3、A2A3并不是一个三角形的三条边，不妨设法平移线段C2C3、B2B3、A2A3成为一个三角形．如图所示，过A2作C3C2的平行线交过C2所作的C3A2的平行线于点
O，可知A2OC2C3是平行四边形．
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故A2O?C3C2，OC2?A2C3?B3C2． 又因为?OC2B3??C?60?，
A所以△OB3C2是等边三角形． 从而?OB3C2?60???B，
故OB3∥A3B2，且OB3=C2B3?A3B2． 因此OB3B2A3是平行四边形， 则OA3∥B3B2，且OA3=B3B2．
222因为C2C3?B2B3?A2A3，
C1A3A2B1OC3B2BB3A1C2C222则OA2?OA3?A2A3，
由勾股定理的逆定理可得?A2OA3?90?．
由于OA3∥B3B2，即OA3∥A1C1；A2O∥C3C2，即A2O∥B1A1， 故?C1A1B1?90?，即A1B1?AC11．
题型二：轴对称
典题精练
【例2】 在△ABC中，∠A?45?，AB?7，AC?42，点D、E、F分别为BC、AB、AC 上的动点，求△DEF的最小周长．
AEF
BDC【解析】 当点D固定时，分别作点D关于AB、AC的对称线段D?、D??，应用上面结论可得
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DE?EF?DF?D?E?EF?FD??≥D?D??，
AA4ED'D''BDCF
3B28M4542
5NC∵∠A?45?，∴△AD?D??是等腰直角三角形，D?D???2AD， 故DE?EF?DF≥2AD，
当AD最小时，即AD为△ABC的高，且D?、E、F、D??四点共线，
△DEF的周长最小为2AD．求高AD如图所示．
最小周长为
1【例3】 如图，已知?ABD??ACD?60?，且?ADB?90???BDC．求证：△ABC是等腰三
2 角形． A
282．（此三角形即为著名的垂足三角形） 5【解析】 延长BD到E，使得DE?CD，连接AE．
1∵?ADB?90???BDC，
2BCD∴2?ADB??BDC?180?， 即?ADC??ADB?180?． ∵?ADE??ADB?180?， ∴?ADC??ADE，
∵CD?DE，AD?AD，∴△ADC≌△ADE?SAS?，
BADCE∴?ACD??E?60?，AC?AE， ∵?ABD??ACD?60?，∴?ABD??E，
∴AB?AE，∴AB?AC，∴△ABC是等腰三角形．
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题型三：旋转
【例4】 在平面直角坐标系xOy中，直线y?x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点 Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G． 求证：PF＝PQ ； （3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若 P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．
图1 图2
【解析】（1）直线y?x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴A（－6，0），B（0，6）． ∴OA=OB． ∴?BAO??ABO
在△AOB中，?AOB?90?． ∴?BAO??ABO?45?． （2）在等腰直角三角形APD中，
?PDA?90?，DA=DP，?1??APD?45?． D B 3 P 4 2 ∴DP⊥AD于D．
Q 由（1）可得?BAO?45?．
1 A G F O x
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图1
∴?BAO??1． 又∵PG⊥x轴于G， ∴PG = PD．
y
∴?AGP??PGF??D?90?． ∴?4??BAO?45?． ∴?4??APD??DPG?90?． 即?3??GPQ?90?． 又∵PQ⊥PF， ∴?2??GPQ?90?． ∴?2??3．
在△PGF和△PDQ中，
??PGF??D,? ?PG?PD,??2??3,?∴△PGF≌△PDQ(ASA)． ∴PF=PQ．
（3）答：OP⊥DP，OP＝DP．
证明：延长DP至H，使得PH=PD． ∵P为BE的中点， ∴PB=PE．
在△PBH和△PED中，
?PB?PE,???1??2, ?PH?PD,?B P D A 4 1 2 3 y H E O 6
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图2