内容发布更新时间 : 2024/11/13 6:30:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二十二章 曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式 授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297） 教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用 教学重点：定理22.3, 定理22.4 教学难点：定理22.3,定理22.4 教学方法：讲练结合． 教学程序：1．引导 2．定理22.3,定理22.4 3．例题及部分习题练习

4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。 一 高斯公式

格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss）公式。

定理22.3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P， Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则

??P?Q?R? ??? ?x+?y+?z??dxdydz?V?， （1） =Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

S

其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。 证 下面只证

?Rdxdydz=Rdxdy. ????zVS 读者可类似地证明

?Pdxdydz=Pdydz,????xVS ?Qdxdydz=Qdzdx.????yVS

这些结果相加便得到了高斯公式（1）。

先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面 ①若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用表示。

S2:z=z2(x,y),(x,y)∈Dxy, S1:z=z1(x,y),(x,y)∈Dxy

及以垂直于Dxy的边界的柱面S3组成（图22－6），其中z1(x,y)≤z2(x,y)。于是按三重积分的计算方法有

????Rdxdydz=

V?z??dxdyD?z2(x,y)?Rzdz1(x,y) xy?z

=(x,y,z2(x,y))-R(x,y,z1(x,y)))dxdy D??(Rxy

=(x,y,z2(x,y))dxdy-

D??R??R(x,y,z1(x,y))dxdy xyDxy =??R(x,y,z)dxdy- S??R(x,y,z)dxdy2S1

=??R(x,y,z)dxdy+??R(x,y,z)dxdy,

S2-S1

其中S1,S2都取上侧。又由于S3在xy平面上投影区域的面积为零，所以 ??R(x,y,z)dxdy=0. S3 因此

????Rdxdydz=

V?z??Rdxdy+??Rdxdy+??RdxdyS2-S1S3

=Rdxdy. S

对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。 ▌ 高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。 例1 计算

y(x-z)dydz+x2dzdx+(y2+xz)dxdy, S

其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。 解 应用高斯公式，所求曲面积分等于

??????(y(x-z))+?x2+?(y2+xz)?dxdydz V??x?y()?z??

=???(y+x)dxdydz=?adz?aa 0dy?(y+x)dx V00

=a?a? ?ay+1a2???dy=a4 02.

若高斯公式中P＝x,Q=y,R=z,则有 ???(1+1+1)dxdydz=xdydz+ydzdx+zdxdy.

VS

于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式

?V=1

3xdydz+ydzdx+zdxdy. S▌

二 斯托克斯公式

斯托克斯（Stokes）公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系。

在讲下述定理之前，先对双侧曲面S的侧与 其边界曲线L的方向作如下规定：设有人站在S 上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的 左方，则人前进的方向为边界线L的正向；若沿 L行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方 向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手 法则，如图22－7所示。