内容发布更新时间 : 2024/12/28 11:55:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第1讲 等差数列与等比数列
[做真题]
题型一 等差数列
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．an＝2n－5 C．Sn＝2n－8n
2
B．an＝3n－10 12
D．Sn＝n－2n
2
解析：选A．法一：设等差数列{an}的公差为d， 因为?
?S4＝0，???a5＝5，
4×3??4a1＋d＝0，
2所以?
??a1＋4d＝5，解得?
?a1＝－3，???d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋法二：设等差数列{an}的公差为d，
??S4＝0，因为?
??a5＝5，
n(n－1)
d＝n2－4n.故选A．
2
4×3??4a1＋d＝0，2所以?
??a1＋4d＝5，
??a1＝－3，解得?
?d＝2.?
选项A，a1＝2×1－5＝－3；
选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B； 选项C，S1＝2－8＝－6，排除C； 13
选项D，S1＝－2＝－，排除D．故选A．
22
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5
＝( )
A．－12 C．10
B．－10 D．12
- 1 -
3×2
解析：选B．设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋d)＝2a1＋d24×33
＋4a1＋d，解得d＝－a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－
2210.故选B．
3．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 C．3
B．－3 D．8
2
解析：选A．设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a3，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)，又a1＝1，所以d＋2d＝0，又d≠0，则d＝－2，所以a6＝a1＋1－9
5d＝－9，所以{an}前6项的和S6＝×6＝－24，故选A．
2
4．(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1， 10×910×910a1＋d10a1＋×2a1
22S10100
所以＝＝＝＝4.
S55×45×425
5a1＋d5a1＋×2a1
22答案：4
题型二 等比数列
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3
＋4a1，则a3＝( )
A．16 C．4
B．8 D．2
4
2
2
2
2
S10
＝S5
解析：选C．设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q＝3q＋4，得q＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q＋q)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q＝4.
2．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 C．5盏
B．3盏 D．9盏
2
2
3
解析：选B．每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，
- 2 -
公比q＝2，依题意，得S7＝
a1(1－27)
1－2
＝381，解得a1＝3，故选B．
12
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a4＝a6，则S5＝
3________．
解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝a6，所以(a1q)＝a1q，所以a1q＝1，15×(1－3)
1a1(1－q)3121又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
31－q1－33
5
2
32
5
12
优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所
315×(1－3)
a1(1－q)3121
以q＝3，所以S5＝＝＝. 1－q1－33
5
121
答案：
3
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝q4
2
n－1
.
由已知得q＝4q，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)
n－1
或an＝2
n－1
n－1
.
n(2)若an＝(－2)
1－(－2)
，则Sn＝. 3
由Sm＝63得(－2)＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2
n－1
m，则Sn＝2－1.
mn由Sm＝63得2＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.
题型三 等差、等比数列的判定与证明
(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1
＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
1
解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
21
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．
2
- 3 -