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高考数学 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置

关系

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·福建)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于 A．25

( )．

B．23 C.3 D．1

解析 由题意作出图象如图，由图可知圆心O到直线AB的距离d＝222－12＝23. 答案 B

2．(2012·安徽)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是

( )．

|－2|

＝1，故|AB|＝2|BC|＝1＋3

A．[－3，－1] C．[－3,1]

B．[－1,3]

D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， |a－0＋1|∴2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.

1＋?－1?2答案 C

3．(2013·潍坊模拟)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是 ( )．

A．(2＋1，＋∞) C．(0，2－1)

B．(2－1，2＋1) D．(0，2＋1)

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2

解析 计算得圆心到直线l的距离为＝

22>1，得到右边草图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1，故选A. 答案 A

4．(2013·银川一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 A．－32

B．－3

C．3

( )．

D．32

解析 易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2； 圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，

22

?a＋b?2a＋b

?≤∴|C1C2|＝r1＋r2，即a＋b＝9.∵?

2， ?2?

2

2

∴a＋b≤32(当且仅当a＝b＝∴a＋b的最大值为32. 答案 D

3

时取“＝”)， 2

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2012·北京)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．

解析 由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝

2

＝2. 2

?l?2

设截得的弦长为l，则由?2?＋(2)2＝22，得l＝22.

??答案 22

?m

6．(2011·江苏)设集合A＝(x，y)?2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x

?＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝?，则实数m的取值范围是________． 解析 ∵A∩B≠?，∴A≠?，

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m1

∴m≥2.∴m≥2或m≤0.显然B≠?.

2

要使A∩B≠?，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即|2－2m||1－2m|2－2

≤|m|或≤|m|，∴2≤m≤2＋2. 22

11

又∵m≥2或m≤0，∴2≤m≤2＋2. 当m＝0时，(2,0)不在0≤x＋y≤1内．

?1?

综上所述，满足条件的m的取值范围为?2，2＋2?.

???1?

答案 ?2，2＋2?

??三、解答题(共25分)

7．(12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程． 解 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|3

＝2，解得a＝－

4. a2＋1

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

??

得?|CD|＋|DA|＝|AC|＝2，

1?|DA|＝?2|AB|＝2.

|CD|＝

2

2

2

2

|4＋2a|

，a2＋1

解得a＝－7或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

8．(13分)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，半径小于5.

(1)求直线PQ与圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标

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