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第二章 解析函数 习题课 1. 试问函数

11?z2在圆盘|z|?1（称为单位圆盘）内是否连续？是否一致连续？

2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。

3. 设函数f(z)在区域D内解析。证明：如果对每一点z?D，有f'(z)?0，那么f(z)在

D内为常数。

4. 设函数f(z)在区域D内解析。证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常

数：

（1） Ref(z)或Imf(z)在D内为常数； （2）|f(z)|在D内为常数。

5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。

6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：

z,e,sinz,cosz

2z而下列函数不解析：

z,e,sinz,cosz。

7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：

?u1?v?u?v。 ?,??r?rr?????r2z

8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一定有任意阶导数。证明：

（1） f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：

22?U?x2??U?y2?0（2） 在D内，

(?i22?x??22

)|f(z)|?4|f'(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。

10. 由z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。

11. 由

sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z

所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：

sinhz??isiniz, coshz?cosiz, 由此从关于三角函数的有关公式导出：

cosh2z?sinh2z?1，

sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，

cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，

sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy， cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，

dsinhzdzdcoszdz。

?sinhz?coshz,

12. 设两个实变数的函数u(x,y)有偏导数。这一个函数可以写成z?x?iy及z的函数：

u?u(证明：

z?zz?z。

,)22i

?u1?u?u?u1?u?u?(?i),?(?i),?z2?x?y?z2?x?y设复变函数f(z)的实部及虚部分别是u(x,y)及v(x,y)，并且它们都有偏导数，求证，对于f(z)，柯西-黎曼条件可以写成

?f?z?u?z?v?z。

?0??i

13. 设函数

1在z?0解析，那么我们说ff()z(z)在z??解析。下列函数中，哪些在无穷远

点解析？

e,Ln(zz?1z?11?),z， zmna0?a1z?...?amzb0?b1z?...?bnz

。

14. 在复平面上取上半虚轴作割线。试在所得的区域内分别取定函数

z和Lnz在正实轴

取正实值的一个解析分支，并求它们在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值。

15. 在复平面上取正实轴作割线。试在所得的区域内：

（1） 取定函数z?(?1???0)在正实轴上沿取正实值的一个解析分支，并求这个分支在z??1处的值；在正实轴下沿的值。

（2） 取定函数Lnz在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这个分支在z??1处的值；

在正实轴下沿的值。

16. 求(1?z2)(1?k2z2)(0?k?1)函数的支点，证明它在线段

1k1k，

??x??1,1?x?的外部，能求在z

17. 研究函数

?0取正值的那个分支。

(z?1)(z?1)(z?2)

zw?3如果规定z?3时，w?0。任作两种适当的割线，求这函数的一个解析分支在z?i的值。

18. 找出下列推理的错误：因为(?z)2?z2，所以2Ln(?z)?2Lnz，因此Ln(?z)?Lnz。