内容发布更新时间 : 2024/5/5 14:19:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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偏微分方程数值解期末试题及参考

答案

Ａ卷 2005—2006学

年第2学期 《偏微分方程数值解》试卷 参考答案与评分标准 专业班级 信息与计算科学 开课系室 考试日期 命题教师 王子亭 题 号 一

二 三 四 五 六 七 八 总分 得 分 阅卷人 偏微分方程数值解试题

(06A) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 1一、设矩阵A对称正定，定义J(x)?(Ax,x)?(b,x)(x?Rn)，证明下 2J(x);(2)求下列方程组的解：列两个问题等价：(1)求x0?Rn使 J(x0)?minnx?RAx?b 解: 设x0?Rn是J(x)的最小值点,对于任意的x?Rn,令 ?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)??22(Ax,x), (3分) 因此??0是?(?)

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的极小值点,?’(0)?0,即对于任意的x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有(Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b. (3分) 反 之 ,若 x0?Rn满足 Ax0?b,则对于任意的 1x,J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此x0是J(x)的最小值点. (4分) 2评分标准:?(?)的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 ddu??Lu??(p)?qu?fx?(a,b)二、 对于两点边值问题：? dxdx??u(a)?0,u(b)?0其中p?C1([a,b]),p(x)?minp(x)?pmin?0,q?C([a,b]),q?0,f?H0([a,b]) x?[a,b]建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和 Galerkin形式的变分方程。 1解: 设H0?{u|u?H1(a,b),u(a)?u(b)?0}为求解函数空间,检验函数空间.取1v?H0(a,b),乘方

程两端,积分应用分部积分得到 (3分) bdudv1.?quv)dx??fvdx?f(v),?v?H0(a,b)

aadxdx即变分问题的Galerkin形式. (3分) 11bdu 令

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J(u)?a(u,u)?(f,u)??[p()2?qu2?fu]dx,则变分

问题的Ritz形式 22adx a(u,v)??(pb1J(u) (4分) 为求u*?H0(a,b),使J(u*)?min1u?H0评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三、对于边值问题 ??2u?2u?2?2??1,(x,y)?G?(0,1)?(0,1) ??x?y??u|?G?0建立该边值问题的五

点差分格式，推导截 断误差的阶。 取h?1/3，求边值问题的数值解 就取h?1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵。 解: (1) 区域离散xj?jh,yk?kh,差分格式为 uj?1,k?2ujk?uj?1,kh2?uj,k?1?2ujk?uj,k?1h2??1 (5分) h2?4u?4u应用Tayloy展开得到,截断误差为[4?4]jk?O(h4),其阶为O(h2) (3分) 12?x?y(2) 未知量为U?(u11,u12,u21,u22)T,矩阵形式为AU?F,其中 ?4?1?10??1?????1?1???140?1? (4分) A??,F?????104?191?????0?1?14??1?????

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