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2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年四川，理1】设集合A?{x|(x?1)(x?2)?0}，集合B?{x|1?x?3}，则AB?（ ）
（A）?x|?1?x?3? （B）?x|?1?x?1? （C）?x|1?x?2? （D）?x|2?x?3? 【答案】A
【解析】∵A?{x|?1?x?2}，B?{x|1?x?3}，?AB?{x|?1?x?3}，故选A．
（2）【2015年四川，理2】设i是虚数单位，则复数i3?2?（ ）
i（A）?i （B）?3i （C）i （D）3i 【答案】C
22i??i?2??i?2i?i，故选C． ii（3）【2015年四川，理3】执行如图所示的程序框图，输出S的值是（ ）
【解析】i3?（A）?【答案】D
【解析】易得当k?1,2,3,4时时执行的是否，当k?5时就执行是的步骤，所以S?sin33（B）（C）?1（D）1
2 2 2 25?1?，故选D． 62（4）【2015年四川，理4】下列函数中，最小正周期为?且图象关于原点对称的函数是（ ）
（A）y?cos(2x?) （B）y?sin(2x?) （C）y?sin2x?cos2x （D）y?sinx?cosx
22【答案】A
【解析】显然对于A，y?cos(2x?)??sin2x，为关于原点对称，且最小正周期是?，符合题意，故选A．
2y22（5）【2015年四川，理5】过双曲线x??1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，
3B两点，则|AB|?（ ） 43 （B）23 （C）6 （D）43 3【答案】D
??? （A）【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y??3x，且右焦点(2,0)，则直线x?2与两条渐近线的交点分别为
A(2,23)，B(2,?23)，∴|AB|?43，故选D．
（6）【2015年四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 【答案】B
【解析】这里大于40000的数可以分两类：
13①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有C3 A4?72种；
13A4?48种， ②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有C2综上所述：总共有72+48=120种，故选B．
（7）【2015年四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，AB?6，AD?4．若点M，N满足BM?3MC，
DN?2NC，则AM?NM?（ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
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【答案】C 【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B建立直角坐标系，可得到A?0,6?，M?3,0?，
N?4,2?，∴AM??3,?6?，NM???1,?2?，∴AM?NM??3?12?9，故选C．
（8）【2015年四川，理8】设a，b都是不等于1的正数，则“3a?3b?1”是“loga3?logb3”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B
b?3可得a?b?1．当a?b?1时，log3a?log3b?0．∴【解析】由已知条件3a?311?，即log3alog3b1?1?3?b则3loga3?0?logb3，满足loga3?logb3，却不满足a?b?1．∴“3a?3b?3”是“loga3?logb3”的不必log?lo3∴“3a?3b?3”是“loga3?logb3”的充分条件．然而取a?a3bg．
要条件．综上“3a?3b?3”是“loga3?logb3”的充分不必要条件，故选B．
（9）【2015年四川，理9】如果函数f?x??的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B
?1?【解析】f'?x???m?2?x?n?8，由于f?x?单调递减得：∴f??x??0，∴?m?2?x?n?8?0在?,2?上恒成立．设
2???1??1?g?x???m?2?x?n?8，则一次函数g?x?在?,2?上为非正数．∴只须在两个端点处f????0和
?2??2??1①??m?2??n?8?0， f??2??0即可．即?2?2?m?2??n?8?0②?11?,2?单调递减，则mn ?m?2?x2??n?8?x?1?m?0,n?0?在区间??22??81 2111?n?12?n?由②得：m??12?n?．∴mn?n?12?n?????18．mn当且仅当m?3,n?6时取到最大
22?22?值18．经验证，m?3,n?6满足条件①和②，故选B．
（10）【2015年四川，理10】设直线l与抛物线y2?4x相交于A，B两点，与圆?x?5??y2?r2?r?0? 相切于点M，且M为线段AB的中点． 若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） （A）?1,3? （B）?1,4? （C）?2,3? （D）?2,4? 【答案】D
2??y1?4x1【解析】设A?x1,y1?，B?x2,y2?，M?5?rcos?,rsin??，则?2，两式相减，得： y?4x??22?y1?y2??y1?y2??4?x1?x2?，当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l 22y有两条．当直线l的斜率存在时，可得：
y?y222rsin??y1?y2??4?x1?x2??kAB?1?，
x1?x2rsin?AMOCxrsin??0sin?1cos?B又∵kMC?，∴kAB??， ???kMCsin?5?rcos??5cos?2cos?2???r???2 ∴
rsin?sin?cos?2由于M在抛物线的内部，∴?rsin???4?5?rcos???20?4rcos??20?4???2??12，
r2?4?r2?4?23?r2?16?r?4，因此，2?r?4，故选D． ∴rsin??23，∴rsin??r?r第II卷（共100分）
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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2015年四川，理11】在?2x?1?的展开式中，含x2的项的系数是 ． 【答案】-40
【解析】由题意可知x2的系数为：C52?22?(?1)3??40．
°°（12）【2015年四川，理12】sin15?sin75的值是 ．
6【答案】 236?． 22（13）【2015年四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：°C）满足函数关系y?ekx?b
5【解析】sin15??sin75??sin15??cos15??2sin?15??45???2sin60??2?（e?2.718为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在23°C的保鲜
时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是________小时． 【答案】24
②11?e22k??ek?， ①，ek?22?b?48???②，∴【解析】ek?0+b?192??①423③1x?e33k??ek????x?24． ③，∴∴当x?33时，e33k?b?x???①8192（14）【2015年四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在
os?的最大值为 ．BC中点，线段PQ上，设异面直线EM与AF所成的角为?，则c E，F分别为AB，
M2QP【答案】
5【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为
2，则A?0,0,0∴cos???，F?2,1,0?，E?1,0,0?，M?0,m,2?，∴AF??2,1,0?，EM???1,m,2?
?2?m5m?52AEBFDCAF?EMAF?EM,令f(m)?2?m5m?252(m??0,2?)
2225m?25，m?0,2，?f?(m)?0?f(m)?f(0)?2，从而． cos??f?(m)???maxmax5m2?2555（15）【2015年四川，理15】已知函数f?x??2x，g?x??x2?ax(其中a?R)．对于不相等的实数x1，x2，设
?5m2?25?(2?m)?10mm?f?x1??f?x2?x1?x2，n?g?x1??g?x2?x1?x2，现有如下命题：
(1) 对于任意不相等的实数x1，x2，都有m?0；
(2) 对于任意a的及任意不相等的实数x1，x2，都有n?0； (3) 对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m?n； (4) 对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m??n．
其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】(1) (4)
x1x2f(x)?f(x)2?212【解析】(1)设x1，x2,∵函数y?2是增函数，∴2?2，x1?x2?0，则m?=>0， x1?x2x1?x2xx1x2所以正确；
(2)设x1?x2，则x1?x2?0，∴n?g?x1??g?x2?x1?x2x12?ax1?x22?ax2??x1?x2?a
x1?x2g?x1??g?x2?x1?x2不妨我们设x1??1,x2??2,a??3，则n??6?0，矛盾，所以(2)错． (3)∵m?n，由(1)(2)可得：m?n?f?x1??f?x2?x1?x2?，化简得到，
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