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第2讲 数列求和及综合应用
限时50分钟 满分76分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2020·重庆七校联考)若数列{an}满足
1
an＋1an2
－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正
?1?
项数列??为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝( )
?bn?
A．4 B．16 C．32 D．64
?1?111
解析：C [由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故??是公比为的
an＋1an222?bn?
12
等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)×2＝32，故选C.]
2．(2020·江西省五校协作体考试)设Sn是数列{an}的前n项和，若an＋Sn＝22bn＝2an＋2
111
－an＋1，则＋＋…＋＝( )
b12b2100b100
A.
979899 B. C. 9899100
nn＋1
n,5
100
D.
101
n解析：D [因为an＋Sn＝2 ①，所以an＋1＋Sn＋1＝2以2an＋2－an＋1＝21
n＋1
②，②－①得2an＋1－an＝2，所
1
.又2bn＝2an＋2－an＋1＝2
n＋1
，所以bn＝n＋1，
nbnn＝
111
＝－，则n＋1nn＋1
11111111100
＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选D.] b12b2100b100223100101101101
3．(2020·广东省六校联考)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3.设4nbn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn＜λ(λ为常数，n∈N*)，则λ的最小值是( )
ann - 1 -
3931A. B. C. 2412解析：C [a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3，① 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3①－②得，nan＝4n·3
??3，n＝1，＝?n－1
?4×3，n≥2，?
n－1
n－1
n31
D.
18
，②
(n≥2)，即an＝4·3
n－1
(n≥2)．当n＝1时，a1＝3≠4，所以an
4??3，n＝1，b＝?n??3，n≥2.
nn－1
423n1123n11123
所以Sn＝＋＋2＋…＋n－1＝＋0＋1＋2＋…＋n－1，③ Sn＝＋＋2＋3＋…＋
33333333339333
n－1
3
n－1
＋n，④
3
11－n3n221111n2
③－④得，Sn＝＋0＋＋2＋…＋n－1－n＝＋－n，
3933333913
1－3316n＋93131
所以Sn＝－，所以易知λ的最小值是，故选C.] n＜
124×31212
4．(2019·青岛三模)已知f(n)表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：12的因
n数有1,2,3,4,6,12，则f(12)＝3；21的因数有1,3,7,21，则f(21)＝21，那么∑100,i＝51f(i)的值为( )
A．2 488 B．2 495 C．2 498 D．2 500 解析：D [由f(n)的定义知f(n)＝f(2n)，且若n为奇数则f(n)＝n， 则∑100,i＝1f(i)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(100) ＝1＋3＋5＋…＋99＋f(2)＋f(4)＋…＋f(100) ＝
50×1＋99
＋f(1)＋f(2)＋…＋f(50)
2
＝2 500＋∑50,i＝1f(i)，
∴∑100,i＝51f(i)＝∑100,i＝1f(i)－∑50,i＝1f(i)＝2 500.]
5．(2019·深圳二模)已知数列{an}满足2a1＋2a2＋…＋2an＝n(n∈N)，数列
??1??的前n项和为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝( ) ?log2anlog2an＋1?
2
n*
A.
1112 B. C. D. 1051111
- 2 -
解析：C [∵2a1＋2a2＋…＋2an＝n(n∈N)，∴2a1＋2a2＋…＋2
2n*2n－1
an－1＝n－1(n≥2)，∴
n＋1
111n2an＝1(n≥2)，当n＝1时也满足，故an＝n，故＝－n－
2log2anlog2an＋1log22log22
＝
n1
n＋1
11111111n123＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，∴S1·S2·S3·…·S10＝××nn＋1223nn＋1n＋1n＋12349101
×…××＝，选C.]
101111
6．(2019·潍坊三模)已知等差数列{an}中公差d≠0，a1＝1，a1，a2，a5成等比数列，且
a1，a2，ak1，ak2，…，akn成等比数列，若对任意的n∈N*，恒有
＝( )
anam*
≤(m∈N)，则m2kn－12km－1
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：D [由已知可得，a2＝a1·a5，即(1＋d)＝1·(1＋4d)，又d≠0，解得d＝2，所以an＝2n－1.因为a1，a2，ak1，ak2，…，akn成等比数列，所以2kn－1＝3
??bl≥bl＋1，2n－1
设数列{bn}中的最大项为bl，故满足?n＋1，3?bl≥bl－1，?
n＋1
2
2
.令bn＝
an＝2kn－1
解得1≤l≤2，即数列{bn}中的最大
项为b1，b2，所以m＝1或2.]
二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
??an＋2，n是奇数，
7．(2019·昆明三模)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝?
?2an，n是偶数，?
则数列{an}
的前20项和为________．
解析：由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，1×
公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为
答案：1 123
8．(2019·山师附中质检)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：
1－21－2
10
10×9
＋10×1＋×2＝1 123.
2
a1 a2，a3 a4，a5，a6 a7，a8，a9，a10
……
记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…，构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和，若
Sn＝2bn－1，则a56＝________.
解析：当n≥2时，∵Sn＝2bn－1，∴Sn－1＝2bn－1－1，∴bn＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1(n≥2
- 3 -