内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:52:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．1.1 任 意 角

预习课本P2～5，思考并完成以下问题

(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？

(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？

(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？

[新知初探]

1．任意角 (1)角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)角的分类：

名称 正角 负角 零角

[点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．

2．象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．

定义 按逆时针方向旋转形成的角 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有作任何旋转形成的角 图示 1

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋

k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

[点睛] 对终边相同的角的理解

(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－30°是第四象限角．( ) (2)钝角是第二象限的角．( ) (3)终边相同的角一定相等．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．与45°角终边相同的角是( ) A．－45° C．395° 答案：D

3．下列说法正确的是( ) A．锐角是第一象限角 C．第一象限角是锐角 答案：A

4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．

答案：－25° 395°

任意角的概念

[典例] 下列命题正确的是( ) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角

[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相

2

B．225° D．－315°

B．第二象限角是钝角 D．第四象限角是负角

同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．

[答案] C

理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． [活学活用]

如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．

解析：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°

终边相同角的表示

[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．

[解] 与75°角终边相同的角的集合为

S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．

当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°， 1919

解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.

2424当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.

综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．

1．终边落在直线上的角的集合的步骤 (1)写出在0°～360°范围内相应的角； 3