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2019-2020学年八年级数学上册 第十三章《一元一次不等式》教案1

华东师大版

一. 本周教学内容： 不等式及其解法

学习要求：

1. 通过经历实际问题中数量关系的分析、抽象过程，体会现实生活中的不等量关系，了解不等式和不等式解的意义。

2. 能够理解不等式的基本性质，了解不等式的解集的意义，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集。

二. 重点、难点： 学习重点：

1. 会判断一个数是不是已知不等式的解。

2. 会用不等式的基本性质变形不等式，从而求出不等式的解集。 学习难点：

比较一元一次不等式和一元一次方程，体会数学中类比和化归思想的作用。

【学习内容】

一. 不等式、不等式的解：

现实世界中，有很多等量关系，但是不等的关系更多，例如：两个同学的身高有高有矮，表示不等量关系，我们常用＞、＜、≥、≤、≠等不等号，连接两个式子，如： 1?2，x?2，x?y?x?y等，这种式子叫不等式。

1 在不等式1?2?0，2?3?5，???2中都不含有未知数，而不等式x?1?3，

2x?1120?5x，?x?3中都含有未知数x，与方程相类似，能使这类不等式成立的未知数2的值，就叫做这个不等式的解。

例如x＝5能使x－1＞3成立，所以x＝5是不等式x－1＞3的一个解，一个不等式可能有无数个解，也可能有有限个解，还可能无解。 例如：x?25，26，27，……等都是5x?120的解。 若x取整数，2?x?4就只有一个解x?3 而若x取整数，2?x?3就无解。

例1. 用不等式表示下列关系，并写出两个满足各不等式的数：

（1）x的一半小于?1；（2）y与4的和大于0.5；

（3）a是负数；（4）b是非负数。1 解：（1）x??1，如x??3，?4

2 （2）y?4?0.5，如y?2，3 （3）a?0，如a??1，?2

（4）b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b?0或b?0 通常可表示b?0，如b?0，2

例2. 用不等式表示： （1）a与b的和不是负数。 （2）x的2倍与3的差小于4。 （3）x的4倍与y的一半的差是负数。

（4）a与b的和的绝对值不大于a与b的绝对值的和。

思路分析：较难的不等式与列代数式一样，只是注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别。

解：（1）a?b?0 （2）2x?3?4

1 （3）4x?y?0

2 （4）|a?b|?|a|?|b|

例3. 在数集{?3，?2，?1，0，1，2，3}中，哪些数是不等式不是不等式3x?1?1的解？为什么？ 43x?1?1的解？哪些数 4 分析：把数集中各数分别代入不等式，看不等式是否成立，能成立的，就是不等式的解。否则，就不是。

解：把x??3代入不等式，左边?313?(?3)?1??，右边?1，显然x??3时，不等 4433式x?1?1成立，所以，x??3是不等式x?1?1的解。 44 同样，可以验证x＝－2，－1，0，1，2是已知不等式的解，但x＝3不是已知不等式的解。

二. 不等式的简单变形：

不等式的性质1：如果a?b，那么a?c?b?c，a?c?b?c。

这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的性质2：如果a?b，并且c?0，那么ac?bc； 不等式的性质3：如果a?b，并且c?0，那么ac?bc；

这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

这里注意：c既可以是整数，也可以是分数，故|ac|可以增大，也可减小，与解方程一样，解不等式的过程，就是将不等式变形为x>a或x

例4. 解下列不等式： （1）x?7?8（2）3x?2x?3

解：（1）不等式的两边都加上7，不等号的方向不变，所以 x?7?7?8?7 x?15

（2）不等式的两边都减去2x（即加上?2x），不等号的方向不变，所以 3x?2x?2x?3?2x 即x??3

小结：这里解不等式的过程中，两边同时加、减很像在解方程时中的移项一样，在移项时移动到方程的另一边，项要变号，这里不等式中的移项也要变号。

例5. 解下列不等式：

1 （1）x??32（2）?2x?6

解：（1）不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以

1 x?2?(?3)?2

2 得x??6

（2）不等式的两边都除以?2（即乘以?11 ?2x?(?)?6?(?)

221），不等号的方向改变，所以 2 得x??3

这里的变形，与方程变形中的“将未知数系数化为1”相类似，它依据的是不等式的性质2或性质3，切记注意不等式两边乘以（或除以）的数是正数还是负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变。

例6. 判断正误：

（1）若a?b，则ac?bc；

（2）若a?b，则ac2?bc2；（3）若ac?bc，则a?b；（4）若ac2?bc2，则a?b。

分析：对照不等式的基本性质，观察和分析从条件到结论是运用的不等式的哪一条性质，运用不等式性质的条件是否具备。

解：（1）中是在a>b两边同乘以c，而c是正是负并不知道，因此（1）不一定成立。 （2）中如果c?0时，则ac2?bc2?0，故（2）也不正确。

（3）中是在不等式两边同除以c，而c不知是正、负还是0，所以（3）也不正确。 （4）若ac2?bc2，两边同除以c2，而c2?0，如果c2?0，则ac2?bc2。 故两边同除以c2，得a?b，故（4）正确。