内容发布更新时间 : 2024/5/17 10:16:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 设集合 A ={1, 2, 3,…, 99}，B={2x | x?A,}，C={x | 2x?A}，则 B?C 的元素个数为 . 1.2.设点 P 到平面? 的距离为3，点Q 在平面?上，使得直线 PQ 与? 所成角不小于30° 且不大于60° ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ．

3.将1, 2, 3，4，5，6 随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f, 则abc?def是偶数的概率为 . 4.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的左、右焦点分别是 F1、F2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P．已知线段 PU,PS,PV,PT 的长分别为1，2，3，6 ，则△PF1F2 的面积为 ．

5.设f(x) 是定义在R上的以2 为周期的偶函数，满足f(?)?1,f(2?)?2,且在区间[0，1]上严格递减，则不等式组??1?x?2的解集为 ．

1?f(x)?2?6.设复数 z 满足|z|?1，使得关于 x 的方程zx2?2zx?2?0有实根，则所有 z 的和为 ． 7.设O 为△ABC 的外心，若 AO?AB?2AC，则sin?ABC的值为 ．

8. 设整数数列a1,a2,a3,...,a10满足a10?3a1,a2?a8?2a5，且ai?1??1?ai,2?ai?,i?1,2,...,9,则这样的数列的个数为 ．

二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分 16 分）

??|log3x?1|,0＜x?9?

已知定义在R上的函数 f (x) 为f(x)??.设a, b, c 是三个互不相同的实数，满足 ?9?4?x,x＞f (a) ? f (b) ? f (c) ，求abc 的取值范围． 10.（本小题满分 20 分） 已知实数列a1,a2,a3,...满足：对任意正整数n ，有an(2Sn?an)?1 ，其中Sn 表示数列的前n 项和．证明：对任意正整数n ，有①an＜2n；②anan?1＜1． 11.（本小题满分 20 分）

平面直角坐标系 xOy 中，AB 是抛物线y?4x2的过 F (1, 0) 的弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点 P（不同于点O, A, B ）．若 PF 平分?APB ，求|PF|的所有可能值．

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2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．

1.设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x?3)?f(x?4)??1.又当0?x?7时，f(x)?log2(9?x)，则f(?100)的值为__________.

2.若实数x,y满足x2?2cosy?1，则x?cosy的取值范围是__________.

x2y23.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:??1，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P910是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为__________.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为平稳数.平稳数的个数是 . 5.正三棱锥P-ABC中，AB=1，AP=2，过AB的平面α将其体积平分，则棱PC与平面α所成角的余弦值为________. 6.在平面直角坐标系xOy中，点集K??(x,y)x,y??1,0,1?.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在?ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若?A??3，△ABC的面积为3，则AM?AN的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列?an??,bn?满足：a10?b10?2017，对任意正整数n，有an?2?an?1?an，bn?1?2bn，则a1?b1的所有可能值为__________.

二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）

设k,m为实数，不等式x2?kx?m?1对所有x??a,b?成立.证明：b?a?22. 10.（本小题满分20分）

设x1,x2,x3是非负实数，满足x1?x2?x3?1，求(x1?3x2?5x3)(x1?11. （本小题满分20分）

22)?Re(z2)?2. 设复数z1,z2满足Re(z1)?0，Re(z2)?0，且Re(z1x2x3?)的最值. 35 （1）求Re(z1z2)的最小值；（2）求z1?2?z2?2?z1?z2的最小值.

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2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1．设实数a满足a?9a3?11a?|a|，则a的取值范围是 . 2．设复数z,w满足|z|?3，(z?w)(z?w)?7?4i，则(z?2w)(z?2w)的模为 . 3．正实数u,v,w均不等于1，若loguvw?logvw?5，logvu?logwv?3，则logwu的值为 . 4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 . 5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足?ABC=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，AP?2，则二面角M-BC-A的大小为 . 6．设函数f(x)?sin4kxkx，其中k是一个正整数．若对任意实数a，均有?cos41010{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}，则k的最小值为 . y27．双曲线C的方程为x??1，左、右焦点分别为F1、F2，过点F232作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得?F1PQ=90°，则?F1PQ的内切圆半径是 . 122222?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)2的4个互不相同的数，8．a1,a2,a3,a4是1，2，…，100中满足(a1则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为 .

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）

在△ABC中，已知AB?AC?2BA?BC?3CA?CB．求sinC的最大值．

10.（本小题满分20分）

已知f(x)是R上的奇函数，f(1)?1，且对任意x?0，均有f(12.（本小题满分20分）

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆C1,C2x)?xf(x)． x?1均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值．

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