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《2015年成人高考专升本高等数学一考试大纲》

笔记目录

第一章 极限和连续

第二章 一元函数微分学 第三章 一元函数积分学 第四章 空间解析几何 第五章 多元函数微积分学 第六章 无穷级数 第七章 常微分方程 前言 预备知识 函数 新修订的《大纲》中已删去了函数这一章内容，就是说函数知识在考试中不作考核要求，即不会单独出现有关函数概念及性质的试题，但因微积分学是以初等函数为研究对象，所以把函数做为预备知识，对于后面学好微积分学是十分必要的。 [复习要求] 1.理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单分段函数的图像。

2.理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

[答]（3）设则[答]（4）设 ，则 ， [复习考试要求] （一） 平面与直线 1.会求平面的点法式方程、一般式方程，会判定两平面的垂直、平行。 2.了解直线的一般式（交面式）方程，会求直线的标准式（点向式或对称式）方程，会判定两直线平行、垂直。 3.会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。 （二） 简单的二次曲面 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。 第五章 多元函数微积分学 第一节 多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念、二元函数的几何意义。会求二元函数的表达式及定义域。了解二元函数的极限与连续的概念（对计算不作要求）。 2.理解偏导数概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。 3.掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。 4.掌握复合函数一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的全微分。 6.掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。 7.会求二元函数的无条件极值。会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值。 第二节 二重积分 [复习考试要求] （1）理解二重积分的概念及其性质。 （2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。 （3）会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板的质量）。 第六章 无穷级数 第一节 数项级数 [复习考试要求] 数项级数 （1）理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质。 （2）会用正项级数的比值判别法与比较判别法。

（3） （4）1，0，1，0，…都是数列。 在几何上，数列数轴上的点2.数列的极限 定义对于数列，如果当，…

可看作数轴上的一个动点，它依次取。

[答] 2.函数的表示法 常用的函数表示法有三种：解析法、表格法、图示法。 （1）解析法（2）表格法 （3）图示法 函数的三种表示法各有优缺点，在具体应用时，常常是三种方法配合使用。 3.函数的图像 用图示法表示函数所得到的曲线，就称为函数的图像，用图像表示函数，使我们有可能借助于几何图形，形象直观地研究事物的运动变化过程，它对于理解高等数学中的概念、方法和结论是十分重要的。 描点法作图 （二）显函数、隐函数和分段函数 1.显函数 3.了解函数与其反函数之间的关系2.隐函数 （定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。 … … (剩余六章略) 4.熟练掌握函数的四则运算与复合运算。

完整版12页请联系—— 5.掌握基本初等函数的性质及其图像。

QQ：1273114568索取 6.了解初等函数的概念。

7.会建立简单实际问题的函数关系式。

第一章 极限和连续 [主要知识内容] 第一节 极限 （一）函数的概念 [复习考试要求] 1.函数的定义 时，无限地趋

于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列以常

数A为极限，或称数列收敛于A，记作

否则称数列没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 数列极限的几何意义：将常数A及数列的项

依次用数轴上的点表示，若数列以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点以无限靠近点A。 （二）数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列惟一。 可

收敛，则其极限值必定定义 设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随变1.理解极限的概念（对极限定义、、量x的变化而变化，如果变量x在实数集合D或D的某一等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左个子集合中每取一数值时，变量y依照某一法则f总有一了解函数在一点处极限存在的充分必要条个确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记极限与右极限，件。 为其中x叫自变量，y叫因变量或函数。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、例如，匀速直线运动路程公式（其中v表示无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较速度）

（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 自由落体运动（其中g为重力加速度）

第二节 函数的连续性 在上述函数的定义中，重要的是：三因素两要素。

定义域 在数轴上使函数f有定义的自变量的取值范围D，[复习考试要求] （1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在（3）掌握几何级数,调和级数与P级数称为函数的定义域。记为。

一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函的收敛性。 对应规律 自变量x在D上取每一数值时，函数y按照某数）在一点处连续性的方法 （4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布一确定的规律f，有确定的数值与之对应。

（2）会求函数的间断点。 尼茨判别法。 值域 函数y的取值范围，称为函数的值域，记为。 （3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推第二节 幂级数 两要素：定义域，对应法则

证一些简单的命题。 [复习考试要求] 当自变量x取某一定值a时，函数的对应值记（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连（1）了解幂级数的概念。 续性求极限 （2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、为，有时也记为 例1.函数的定义 逐项求导与逐项积分）。 （1）各组函数中，两个函数相等的是 第二章 一元函数微分学 （3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论第一节 导数与微分 端点）的方法。 A. [考纲要求] （一）导数与微分 第七章 常微分方程 B.

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续第一节 一阶微分方程 性的关系，掌握用定义要求函数在一点处的导数的方法。 ［复习要求］ C. （2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 （１）理解微分方程的定义、理解微分方程的阶、解、通（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函解、初始条件和特解。 数的求导方法，会求反函数的导数。 （２）掌握可分离变量方程的解法。 D.

（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所（３）掌握一阶线性方程的解法。 [答] B.

确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。 （2） 下列各组函数中，两个函数相等的是 第二节 二阶常系数线性微分方程 （5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 ［复习要求］ （6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与（1）了解二阶线性微分方程解的结构。 可导的关系，会求函数的一阶微分。 （2）掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。 B. 第二节 微分中值定理及导数的应用 （3）掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的解法[自由项[复习考试要求] C.

（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意限定为其中为x的n次多项式，义，会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中为实常数]。 D.

值定理证明简单的不等式。 [答] C。

例2．求函数定义域 （2）熟练掌握用洛必达法则求\\、\\、\\、 \\型未定式的极限的方法。 （1）函数的定义域是

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、 A. B. C.D.[答] B.

减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 [解析]

（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、 极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 （5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 解得 （6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 正文 … … (剩余六章略) （2）函数的定义域是

完整版12页请联系—— 第一章 极限和连续 A.B. QQ：1273114568索取 第一节 极限 [复习考试要求] C.D.

第三章 一元函数积分学 [答] C。 1.理解极限的概念（对极限定义、、第一节 不定积分 等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左[复习考试要求] 极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条不定积分 （1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定件。 [解析] 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 积分的性质，了解原函数存在定理。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、（2）熟练掌握不定积分的基本公式 （3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（3）求函数的定义域 （高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换于三角代换与简单的根式代换）。 求极限。 （4）熟练掌握不定积分的分部积分法。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 （5）会求简单有理函数的不定积分。 [解析]由得或

[主要知识内容] 第二节 定积分 [复习要求] （一）数列的极限 （1）理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的1.数列 由得

条件 按一定顺序排列的无穷多个数 （2）掌握定积分的基本性质 （3）理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积故原函数的定义域为。

称为数列，记作，其中每一个数称为数列的项，第例3．求函数值或进行函数式的变换 分求导数的方法。 （4）熟练掌握牛顿 — 莱布尼茨公式。 n项。为数列的一般项或通项，例如 （1）设，则

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 （6）理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 （1）1，3，5，…，，…

（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以[答]

及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 （2） 第四章 空间解析几何 （2）设，则

定理1.2（有界性）若数列收敛，则它必定有界。

注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。 定理1.3（两面夹定理）若数列足不等式。

定理1.4若数列单调有界，则它必有极限。 下面我们给出数列极限的四则运算定理。 定理1.5（1）

，

，

满且

（2）

（3）当时， （三）函数极限的概念 1.当（1）当定义 对于函数时，函数时，函数时函数时 的极限 的极限 ，如果当x无限地趋于

无限地趋于一个常数A，则称当的极限是A，记作（当时） 时的左极限 ，如果当x从

的左边无限地

或

（2）当定义 对于函数趋于时，函数无限地趋于一个常数A，则称当

的左极限是A，记作

时，函数或例如函数常数1.我们称：当 时，

无限地趋于一个的左极限是1，即有

当x从0的左边无限地趋于0时，（3）当定义 对于函数趋于时，函数时，的右极限 ，如果当x从

的右边无限地

无限地趋于一个常数A，则称当

的右极限是A，记作

时，函数 或 又如函数 无限地趋于一个

当x从0的右边无限地趋于0时，常数-1 。因此有 … … (剩余六章略) 完整版12页请联系—— QQ：1273114568索取 精品文档

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由上述，极限的定义，不难看出：极限是A，这表示当且仅当这就是说，对于函数当

时，

时，函数有相同的极限A。

来讲，因为有所以，当，

时，以及

时，函数… … (剩余六章略) 完整版12页请联系—— 的QQ：1273114568索取 ，时，。

是无穷小量；而当

当时，sin ～（六）两个重要极限 。 1.重要极限I 的左极限是1，而右极限是 -1，即

但是对函数属三角函数的型的极限问题 该公式可以用下面更直观的结构式表示

时，的极限存在，当就不是无穷小量。因此称为无穷小,即虽然当时，量时，必须指出自变量的变化趋势。否则是毫无意义的。 时，（3）很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量也不 一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。 （4）无穷小量不是一个数，但\是无穷小量中惟一的一无个数，这是因为。 2.无穷大量（简称无穷大）

2、重要极限Ⅱ 定义 如果当自变量（或）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化为无穷大量。记作

的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当时，的极限不存在。

例如函数限地趋于常数1：当，当时，

时，

也无限地趋于同一个常数1，因此称当限是1，记作

但是对于函数，当左极限是2，而右极限是2。

时，

的 其几何意义如图3所示. 时

的极过程中， 。 2.无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。 定理1.11 在同一变化过程中，如果 则为无穷小量；反之，如果为无穷大量，属型的幂指型的极限问题 其中e是个常数，叫自然对数的底，它的值为： e=2.718 281 828 495 045… 为无穷小量，且

其结构式可表示为 （七）求极限的方法 1.利用极限的四则运算法则求极限；

例如当时，是无穷大量，而当2.利用两个重要极限求极限； 3.利用无穷小量的性质求极限；

（四）函数极限的定理 时，是无穷小量。 4.利用函数的连续性求极限； 5.利用洛必达法则求未定式的极限；

当时，是无穷小量，而当6.利用等价无穷小代换定理求极限。

定理1.7 （惟一性定理）如果存在，则极限 四则运算法则： 值必定惟一。 limf(x)=A limg(x)=B 时，是无穷大量。

设函数，，①lim〔f（x）±g（x）〕=limf(x)±limg(x)=A±B 显然，函数的左极限、右极限与定理1.8 （两面夹定理）3.无穷小量的基本性质 ②lim〔f（x）×g（x）〕= lim·f(x)×lim·g(x)=A·B 性质1 有限多个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

在点的某个邻域内（可除外）满足条件 A 性质2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；③lim K（x）=K lim f（x）=K·函数的极限之间有以下关系：

特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3 有限多个无穷小量的乘积是无穷小量。 定理1.6 当时，函数的极限等于A的必④lim==（B≠0）

且有 。 性质4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷要充分条件是 ⑤limf(x)=〔limf（x）〕n=An 小量。 注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 基本极限公式 4.无穷小量的比较 下面我们给出函数极限的四则运算定理 （1）limc=c

定义 设是同一变化过程中的无穷小量，即 这就是说：如果当时，函数的极限等于定理1.9 如果 则 （2）， A，则必定有左、右极限都等于A。 （1） 反之，如果左、右极限都等于A，则必有（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记（3）， 作； （2） 。

这个结论很容易直接由它们的定义得到。

（2）如果则称是与同阶的无穷小（4） 量； 以上讲的是当时，函数的极限存在的情1.约分，求极限 况，对于某些函数的某些点

的极限也可能不存在。

2.当（1）当定义 对于函数

时，函数时，函数

的极限 的极限 ，如果当 处，当

时，（3）当

时

，（3）如果为～； [答]则称 是比

较低价的无穷小

[答]0 2.当因为函数

的极限是A，记作（当

（2）当

时，函数

时）

的极限

或（2）

因为阶无穷小量（当，所以称时）。 与x是同 计算极限[答]0 一般地，有 是比

较高阶的无穷

穷小量（当，所以称时）。 [答]3 与x是等价无

时型的极限

则称与是等价无穷小量，记

，则为无穷大量。

上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积（4）如果的情形，并有以下推论： 量。记作推论 时，例如： 时，（1）

无限地趋于一个常数A，则称当

（3）

定义 对于函数，如果当时，用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求无限地趋于一个常数A，则称当 时，分母的极限不能为零，另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。 函数的极限是A，记作 （五）无穷小量和无穷大量 这个定义与数列极限的定义基本上一样，只不过在数列极1、无穷小量（简称无穷小） 限的定义中一定表示，且n是正整

定义 对于函数，如果自变量x在某个变化过数；而在这个定义中，则要明确写出，且其中的x不一定是整数。 程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，如函数，当限地趋于常数2，因此有

（3）当定义 对于函数

时，函数

的极限 ，如果当时

时，

无为无穷小量，一般记作

在微积分中常用希腊字母来表示无穷小量。

因为，所以称小量（当时）。 两个等价无穷小量可以互相代换，且有下列性质：

如果当（）时，均为无计算极限3.无穷小的性质求极限 穷小量，又～，～，且

存在，则

等于 [答]

无限地趋于一个常数A，则称当的极限是A，记作

A.0B. C.1D.2 [答]A 这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作4.第Ⅰ个重要极限 用。但是必须注意：等价无穷小量代换只能在极限的乘除，或，或，或，运算中使用。 ，或或中的一个。为了简单起见，我们没有专门再等于 时， 时，提出数列，而把它归入函数之中，并且有时将数列与函数常用的等价无穷小量代换有：当～x； ～x； ～x；～A.0B.C.1D.3[答]D 统称为变量。 x ； 定理1.10 函数以A为极限的必要充分条件是：这里说的\自变量x在某个变化过程中\是指当

可表示为A与一个无穷小量之和。

时，注意： （1）无穷小量是变量它不是表示量的大小，而是表示变时，量的变化趋势是变量无限趋于零的。

～x ；～x；

～

；

A.0B.1 C. 对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层的理解为：

→0时时，其余类似。 ～

，

，则

若等于 D. [答]A 又如函数，当

无限地趋于常数2，因此我们说，当

函数

的极限是

2，即有

（2）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不当同的变化趋势，例如 例如当 存在，且 精品文档

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[答] 1

5.第Ⅱ个重要极限

即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。 可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。 … … (剩余六章略) 3、函数的间断点

定义：如果函数f（x）在点处不连续则称点为f完整版12页请联系——

QQ：1273114568索取 （x）一个间断点。

由函数在某点连续的定义可知，如果f（x）在点处有下列三种情况之一，则点等于（ ）

A.

B.e C.

D.

[答]D

（1）在点（2）在点是f（x）一个间断点。

求极限[答]

处，f（x）没有定义； 处，f（x）的极限不存在； 处f（x）有定义，且存在，

（3）虽然在点计算

[答]e

6.求极限的逆问题 （1）当

时，己知极限值求函数式中待定系数

但。 （二）函数在一点处连续的性质 由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。 定理（四则运算）设函数f（x），g（x）在则 在在若，则处连续 处连续 在处连续。 处

处皆连续，

例1.若，求a，b的值.

[答] 型未定式. a=3，b=-2。

（2）当x→∞时，己知极限值求函数式中待定系数

（一）27]若求a，b的值.

，

定理（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在连续，y=f（u）在（x）]在处连续。 处连续，则复合函数y=f[g

[答] 型 a=-1，b=1. 设

，则K=_____。

在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在在，又y=f（u）在对应的限符号可以与函数符号交换。即 处极限存

处连续。则极

[答] 7.无穷小量

当x→0时，下列函数为无穷小的是（ ） A.

B.

定理（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。 （三）闭区间上连续函数的性质 C. D.2x-1

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质。[答] B

这些性质以后都要用到。 当x→0时，是x的（ ） 定理（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 续，则f（x）必在[a，b]上有界。 C.同阶无穷小，但不等价 D.等价无穷小[答]C 定理（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，

b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值

当x→0时，与为等价无穷小，则必有m。 定理（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和Ma=_____。[答] 第二节 函数的连续性 [复习考试要求] （1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法 （2）会求函数的间断点。

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单的命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限 [主要知识内容] （一）函数连续的概念 1、函数在点

处连续

的某个邻域内有定义，如 也例1.点的连续性的逆问题 （1）设，当x≠0时，F（x）=f（x）。若F（x）在点x=0处连续，则F（0）等于____。 A.-1 B.0 C.1 D.2 [答]C （2）设[答]0 例2.求间断点 在x=0处连续，则a=_____。

之间的任何实数c，在[a，b]上至少存在一个，使得

推论如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点，使得，

（四）初等函数的连续性 由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于，基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。 定理：初等函数在其定义的区间内连续。 利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且是定义区间内的点，则 定义1设函数y=f（x）在点果当自变量的改变量

趋近于0，即

或

则称函数y=f（x）在点函数y=f（x）在点

趋近于0时，相应的函数

处连续。

连续也可作如下定义。

的某一邻域内有定义，如定义2设函数y=f（x）在点果当处的函数值

时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于

，即

（1）点x=1是函数的（）。 A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点 [答]B （2）点x=0是函数的（）。 A.连续点 B.可去间断点 C.第二类间断点 D.第一类间断点，但不是可去间断点 [答]A 则称函数y=f（x）在点连续，此时有

例3.证明五次代数方程在区间（1，2）

，则称函内至少有一个实根. 例4.设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）

数f（x）在点处左连续；如果，＞b.求证：在开区间（a，b）内至少存在一点，使. 则称函数f（x）在点处右连续。由上述定义2可知如 证明：令F（x）=f（x）-x,则有 果函数y=f（x）在点处连续，则f（x）在点处 左连续也右连续。 F（a）= f（a）-a＜0 2、函数在区间[a，b]上连续 定义 如果函数f（x）在区间[a，b]上的每一点x处都连F（b）= f（b）-b＞0 续，则称f（x）在区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a， b]上的连续函数。 故由零值定理可知，至少存在一点，使 这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系： 定义3设函数y=f（x），如果

.

在右端点b连续，是指满足关系：

即在开区间（a，b）内至少存在一点 ，使.

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