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2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年山东，理1，5分】设函数y?4?x2的定义域为A，函数y?ln(1?x)的定义域为B，则AB（ ）

（A）?1,2? （B）(1,2? （C）??2,1? （D）??2,1) 【答案】D 【解析】由4?x2?0得?2?x?2，由1?x?0得x?1，A故选D． B={x|?2?x?2}{x|x?1}?{x|?2?x?1}，

（2）【2017年山东，理2，5分】已知a?R，i是虚数单位，若z?a?3i，z?z?4，则a?（ ） （A）1或?1 （B）7或?7 （C）?3 （D）3 【答案】A

【解析】由z?a?3i,z?z?4得a2?3?4，所以a??1，故选A．

（3）【2017年山东，理3，5分】已知命题p：?x?0，ln(x?1)?0；命题q：若a?b，则a2?b2，下列命题

为真命题的是（ ） （A）p?q （B）p?q （C）p?q （D）p?q 【答案】B

22,221;?1???2,(1)?(2?)2?【解析】由x?0时x?1?1,ln(x?1)有意义，知p是真命题，由2?1可知q是假命题，

即p，?q均是真命题，故选B．

?x?y?3?0?（4）【2017年山东，理4，5分】已知x、y满足约束条件?3x?y?5?0，则z?x?2y的最大值是（ ）

?x?3?0? （A）0 （B）2 （C）5 （D）6 【答案】C

?x?y?3?0?【解析】由?3x+y?5?0画出可行域及直线x?2y?0如图所示，平移x?2y?0发现，

?x?3?0?当其经过直线3x?y?5?0与x??3的交点(?3,4)时，z?x?2y最大为 z??3?2?4?5，故选C．

（5）【2017年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：

厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，

设其回归直线方程为y?bx?a，已知?xi?225，?yi?1600，b?4，该班某学生的脚

i?1i?11010长为24，据此估计其身高为（ ） （A）160 （B）163 （C）166 （D）170 【答案】C

【解析】x?22.5,y?160,?a?160?4?22.5?70,y?4?24?70?166，故选C． （6）【2017年山东，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第

二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a值分别为（ ）

（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0 【答案】D

【解析】第一次x?7,22?7,b?3,32?7,a?1；第二次x?9,22?9,b?3,32?9,a?0，故选D． （7）【2017年山东，理7，5分】若a?b?0，且ab?1，则下列不等式成立的是（ ）

1b1b1bb1（A）（B）a?log2(a?b)?a?（C）log2(a?b)?a??a a??log2(a?b)?a（D）a??a?log2(a?b)b2b2b22b【答案】B

a?11b【解析】a?1,0?b?1,?a?1,log2(a?b)?log22ab?1,2b?a??a?b?a??log2(a?b)，故选B．

bb2（8）【2017年山东，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，

则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）

5457（A） （B） （C） （D）

18999【答案】C

122C5C45【解析】?，故选C．

9?89（9）【2017年山东，理9，5分】在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若?ABC为锐角三角形，

且满足sinB(1?2cosC)?2sinAcosC?cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）

（A）a?2b （B）b?2a （C）A?2B （D）B?2A 【答案】A

【解析】sin(A?C)?2sinBcosC?2sinAcosC?cosAsinC所以2sinBcosC?sinAcosC?2sinB?sinA?2b?a，

故选A．

1（10）【2017年山东，理10，5分】已知当x??0,1?时，函数y?(mx?1)2的图象与y?x?m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）

（A）?0,1??23,?? （B）?0,1??3,??? （C）0,2??23,?? （D）0,2??3,???

????【答案】B

1【解析】当0?m?1时，?1，y?(mx?1)2单调递减，且y?(mx?1)2?[(m?1)2,1]，y?x?m单调递增，且

m11y?x?m?[m,1?m]，此时有且仅有一个交点；当m?1时，0??1，y?(mx?1)2在[,1] 上单调

mm2递增，所以要有且仅有一个交点，需(m?1)?1?m?m?3，故选B．

????第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2017年山东，理11，5分】已知(1?3x)n的展开式中含有x2的系数是54，则n? ． 【答案】4

rrr2?3r?xr，令r?2得：C2【解析】?r?1?Cn?3x??Cnn?3?54，解得n?4．

（12）【2017年山东，理12，5分】已知e1、e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60?，则

实数?的值是 ．

3【答案】

3【解析】

?3e1?e2?e1??e2?3e1?3?e1?e2?e1?e2??e222???22?3??，3e1?e2?22?3e1?e2?2 ?3e1?23e1?e2?e2?2，e1??e2??e??e?122?e1?2?e1?e2??2e2?1??2，

?3???2?1??2?cos60?1??2，解得：??（13）【2017年山东，理13，5分】由一个长方体和两个

图，则该几何体的体积为 ． 【答案】2?3． 31圆柱体构成的几何体的三视图如 4?2

1?【解析】该几何体的体积为V???12?1?2?2?1?1??2．

42x2y2（14）【2017年山东，理14，5分】在平面直角坐标系xOy中，双曲线2?2?1（a?0，b?0）的右支与焦

ab4OF，则该双曲线的渐近线方程 点为F的抛物线x2?2py（p?0）交于A、B两点，若AF＋BF＝为 ．

2【答案】y??x

2?x2y2?1ppp??【解析】|AF|?|BF|=yA??yB??4??yA?yB?p，因为?a2b2?a2y2?2pb2y?a2b2?0?，

222?x2?2py?2pb22所以yA?yB?2?p?a?2b?渐近线方程为y??x．

2ax（15）【2017年山东，理15，5分】若函数ef(x)（e?2.71828是自然对数的底数）在f(x)的定义域上单调

递增，则称函数f(x)具有M性质。下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ． ①f(x)?2?x ②f(x)?3?x ③f(x)?x3 ④f(x)?x2?2 【答案】①④

【解析】①ef?x??e?2xxxx?x?e????在R上单调递增，故f?x??2?x具有?性质； ?2?xx?e?②ef?x??e?3???在R上单调递减，故f?x??3?x不具有?性质；

?3?2?当x??2时，g??x??0，exx?3，?2xex?x?2?，③exf?x??ex?x3，令g?x??则g??x??ex?x3?ex?3x?x当x??2时，g??x??0，?exf?x??ex?x3在???,?2?上单调递减，在??2,???上单调递增，故

f?x??x3不具有?性质；

2④exf?x??ex?x2?2?，令g?x??ex?x2?2?，则g??x??exx2?2?ex?2x?ex??x?1??1??0，

???exf?x??ex?x2?2?在R上单调递增，故f?x??x2?2具有?性质．

?? 三、解答题：本大题共6题，共75分．

（16）【2017年山东，理16，12分】设函数f(x)?sin(?x?)?sin(?x?)，其中0???3，已知f()?0．

626（1）求?；

（2）将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移

????个4?3??单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)在???4,4?上的最小值． ??3133??解：（1）因为f(x)?sin(?x?)?sin(?x?)，所以f(x)?sin?x?cos?x?cos?x?sin?x?cos?x

22226213??????3(sin?x?cos?x)?3(sin?x?)，由题设知f()?0，所以??k?，k?Z．

223636故??6k?2，k?Z，又0???3，所以??2． （2）由（1）得f(x)?3sin(2x?)，所以g(x)?3sin(x??)?3sin(x?)．

34312?3???2????3因为x?[?,]，所以x??[?,]，当x???，即x??时，g(x)取得最小值?．

44123312324（17）【2017年山东，理17，12分】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内

部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120?得到的，G是DF的中点．

（1）设P是GE上的一点，且AP?BE，求?CBP的大小；

（2）当AB＝3，AD＝2时，求二面角E?AG?C的大小． 解：（1）因为AP?BE，AB?BE，AB，AP?平面ABP，ABAP?A，所以BE?平面ABP，

又BP?平面ABP，所以BE?BP，又?EBC?120?，因此?CBP?30?． （2）解法一：取EC的中点H，连接EH，GH，CH．因为?EBC?120?，所以四边形BEHC为

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