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2019年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 A 6 A 7 D 8 C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．

1? 10． 11．341 12．?3 3en?113．9，n （注：第一个空填对给2分，第二个空填对给3分）

9．1?（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）

7? 15．（几何证明选讲选做题）30?（注：也可以填）

64三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）

（2C?）?已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin（1）求角C的大小； （2）求

?21222，且a?b?c． 2a?b的取值范围． c222a2?b2?c2?0，?C为钝角．2分 解：（1）（法一）因为a?b?c，由余弦定理，cosC?2ab?1??3?因为sin(2C?)?，又?2C??，

22222?5?2?所以2C??，解之，得?C?． ????????????????????5分

263a2?b2?c2222?0，?C为钝角，2分 （法二）因为而a?b?c，由余弦定理，cosC?2ab?1所以??2C?2?，又cos2C??sin(2C?)??，

224?2?所以2C?，?C?．??????????????????????????5分

332013年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第1页 共9页

????A，0?A?． 33?sinA?sin(?A)a?bsinA?sinB3?根据正弦定理，???????????????7分 ?2?csinCsin3?3??2?12???cosA?sinA??sin(A?) ??????10分 ?sinA????2233?3?????（2）（法一）由（1），得?B???2?3??A??，所以?sin(A?)?1， 33323a?b23从而的取值范围为(1,]． ??????????????????????12分

c32?（法二）由（1），?C?，根据余弦定理，

32?c2?a2?b2?2abcos?a2?b2?ab ????????????????????7分

3又

3?a?b??(a?b)?ab?(a?b)???(a?b)2． ?4?2?2224a?b23?a?b?所以，?． ???????????????????????10分 ???，

c33?c?a?b?1． 又a?b?c，ca?b23所以的取值范围为(1,]． ??????????????????????12分

c317、（本小题满分12分）

一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”

（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率； （2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望． 解：（1）设A1表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球”，

； B1表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球”

2A2表示事件“第2次操作从箱中取出的是红球”， B2表示事件“第2次操作从箱中取出的是白球”．

则A1B2表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球，且第2次操作从箱中取出的是白球”．

由条件概率的计算公式，得P(A1B2)?P(A1)P(B2|A1)?326??．???????2分 55252013年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第2页 共9页

． B1A2表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球，且第2次操作从箱中取出的是红球”

248由条件概率的计算公式，得P(B1A2)?P(B1)P(A2|B1)???．???????4分

5525． A1B2?B1A2表示事件“进行第二次操作后，箱中红球个数为4”

而A1B2与B1A2是互斥事件，

所以P(A1B2?B1A2)?P(A1B2)?P(B1A2)

?68? 252514?．??????????????????????????6分 25（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X?3，4，5． ?????????8分

33914??，P（X?4)?， 5525252129142P(X?5)?????（或P(X?5)?1?P(X?3)?P(X?4)?1?）．

5525252525P(X?3)?进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：

X P 3 4 5 9 2514 252 25?????????10分

进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望

EX?3?914293?4??5??． ?????????????????????12分 2525252518、（本小题满分14分）

如图6，已知四边形ABCD是矩形，AB?2BC?2，三角形PAB是正三角形，且平面ABCD

?平面PCD．

（1）若O是CD的中点，证明：BO?PA； （2）求二面角B?PA?D的余弦值． 解：（法一）（1）连结OA、OP．

∵ABCD是矩形，且AB?2BC，O是CD的中点， ∴BO?AO．①???????????????1分

又∵平面PCD?平面ABCD，

平面PCD?平面ABCD?CD，

AFBDOPE图 6AD?平面ABCD，AD?CD，

∴AD?平面PCD．

C2013年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第3页 共9页