复变函数习题二解答 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/26 3:06:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第二章部分习题解答

1.试证下列函数在z平面上任何点都不解析。 (1) f?z??x?y (2)f?z??Rez。

?u?v?v?u?1,?0,?0?1?y?x?y证 (1) ?x,,知f?z?在z平面上任何点都不解析。

?u?u?v?v???0?1?y?x?y(2) ?x,, 知f?z?在z平面上任何点都不解析。

2.下列函数何处可导?何处解析?

22??fz?xy?ixy

(1)

解 (1)由于

?v2?u?v?u2?x?2xy?2xy?y?y?x?x,,,?y

在z平面上处处连续,且当且仅当z=0时,u,v才满足C-R条件,故

f?z??xy2?ix2y仅在点z?0处可导,在z平面处处不解析。

3.证明:如果函数f?z??u?iv在区域D内解析,并满足下列条件之一,那么f?z?是常数。 (1) 在

(2)f?z?在D内解析。 (3)|f?z?|在D内是一个常数。 解 (1)的证明 由于即有

。于是

,故由引理得恒为常数, 即

,根据

条件

内恒为常数。

(2) 若f?z??u?iv?u?iv在区域D内解析,则

?u???v??u?u???v??v???????x?x ?x?y?y, ?y又f?z??u?iv在区域D内解析,则

1

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?v?u?v?u????x ?x?y,?y结合(1)、(2)两式,有

?u?u?v?v????0?x?y?xvy,

故u,v在D内均为常数,分别记之为 u1?C1,u2?C2?C1,C2为实常数?, 则 f?z??u?iv?C1?iC2?C为一复常数。

222(3)若|f?z?|在D内为一常数,记为C1,则u?v?C1,两边分别对于x和y求

偏导,得

?v??u2u?2v?0???x?x??u?v?2u?2v?0??y??y

由于f?z?在D内解析,满足C-R条件

?u?v?u?v?,???x?y?y?x

代入上式又可写得

?u??uu?v?0???x?y??u?u?v?u?0??x?y?

?u?v?v?v??0??0?x?y?xvy解得。同理,可解得故u,v均为常数,分别记为

u?C1,v?C2,则f?z??u?iv?C1?iC2?C为一复常数。

4.如果

f?z??u?iv是一解析函数,试证:if?z?也是解析函数。

证 (1)f?z??u?iv,f?z??u?iv,if?z??v?iu,

if?z??v?iu??i, ?u?iv???if?z? ,

可知if?z?为一解析函数。

5.证明:柯西-黎曼方程的极坐标形式是

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?v1?u?u1?v???r?? ?rr??,?r证 令x?rcos?,y?rsin?,利用复合函数求导法则和u,v满足C-R条件,得

?u?r??u?xcos???u?ysin?

?v????v?x??rsin????v?yrcos???u?yrsin???u?u?xrcos??r?r

?u1?v即

?r?r??。又 ?u?u????x??rsin????u?yrcos?

?v?r??v?xcos???v?u?u?ysin????ycos???xsin?

??1????u?ur???yrcos???xrsin??????1?ur??

总之,有

?u1?v?v?r?r????1?u,?rr??。 6.设z?x?iy,试求

|i?2z|z2(1)

e (2)|e| i?2zi?2x?i2xy?2x?i?1?2?y?2x解 (1)|e|?|e|?|e|?eez2?e?x?iy?2?ex2?y2?i2xy?ex2?y2(2)

1(3) Re{ez}

1x?iyx?Re{ex?iy}?Re???ex2?y2???Re??ex2?y2e?iy?x2?y2????????????3

Re?1?z??3)

?e??? (

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x?yy???x2?y2?????Re?ecos?isin2222???x?yx?y??????

x?ex2?y2cosyx2?y2

7.下列关系是否正确?

zz(1)e?e; (2)cosz?cosz; (3)sinz?sinz

zxxx?iyze?e(cosy?isiny)?e(cosy?isiny)?e?e解(1)

?eiz?e?izcosz???2?(2)?1iz??e?e?iz?1e?iz?eiz?cosz?22?。

????1iz1iz1?iz?izsinz?e?e?e?e?(e?iz?eiz)2i?2i2i(3)

????1ize?e?iz?sinz=2i。

???e?8.试证:对任意的复数z及整数m有

证 对任意的复数z,当m为自然数时,

zm?emz

?e? 当m?0时,

zm?ez?ez?ez?emz

m个

?e?zmz0?1?e0z。

当m??n?n为自然数?时,

?e???e?z?n??e?1zn?1?nzmz?e?eenz

9.找出下列方程的全部解。

z(1)1?e?0; (2)sinz?cosz?0 z解(1)原方程等价于e??1,于是它的解为:

z?Ln??1??ln|?1|?i?arg??1??2k???i??1?2k? k?0,?1,?2,?

(2)由于

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sinz??cos,eiz?e?iz1??eiz?e?iz2i2,故

??e2iz?1??ie2iz?1

e2iz?1?i1?i

??z?11?1?i?1Ln???Ln??i???ln|?i|?i?arg??i??2k???2i?1?i?2i2i i??1??????2k????k???,k?0,?1,?2,?2i?24???

i??10.设z?re,试证

Re?ln?z?1???证 由于

1ln1?r2?2rcos?2

??ln?z?1??lnrei??1?ln?rcos??irsin??1?

???ln??rcos??1?2?r2sin2??iarg?rcos??1?irsin??

1lnr2?1?2rcos??iarg?rcos??1?irsin??2

??故

Re?ln?z?1???i1ln1?r2?2rcos?2??

i??1?i11.求3和的值。

iLn3i?ln3?i?arg3?2k????2k?iln33?e?e?ee解:

?e?2k??cosln3?isinln3?,k?0,?1,?2,?

?1?i?i?eLn?1?i??ei?ln|1?i|??i?arg?1?i??2k???eiln2??????2k??2?4??e?1?????2k??4?ln2ln2???isin?cos?22??, k?0,?1,?2,?

12.若函数f(z)在上半z平面内解析,试证函数f?z?在下半z平面内解析。 证1 对于任意的下半z平面上的一点z。则点z是上半z平面上的点, f(z)?u(x,y)?iv(x,y),

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