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北京市人大附中2019-2020学年度高三开学测

数 学 2019.8.15

（考试时间120分钟 满分 150分）

本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分

第一部分（选择题 共50分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.设i为虚数单位，则复数z?1?i的模|z|?

A.1 B.2 C.2 D.22 2.已知全集U?R,若集合A?x|x?x?0,则CUA?

A.x|x?0,或x?1 B.x|x?0,或x?1 C.?x|0?x?1? D.?x|x?1? 3.命题p:?x?0,e?1,则?p是 A?x0?0,ex0?2?????x?1. B.?x0?0,ex0?1

xx C.p:?x?0,e?1, D.p:?x?0,e?1,

4.若a,b是两个非零的平面向量，则“a?b”是“?a?b???a?b??0”的

A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件

1115.已知a?ln,b?sin,c?22,则a,b,c的大小关系为

22A.a?b?c B.a?c?b C.b?a?c D.b?c?a 6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是

1

A.最长棱的棱长为6 B.最长棱的棱长为3

C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 D.侧面四个三角形中都是直角三角形

7.已知函数f(x)?|lnx|?1,g(x)??x?2x?3,min?m,n?表示m,n中最小值，设

2h(x)?min?f(x),g(x)?，则函数h(x)的零点个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

8.已知抛物线C;y?4x,点P?m,0?,O为坐标原点,若在抛物线C上存在一点Q，使得

2?OQP?90?,则实数m的取值范围是

A.?4,8? B.?4,??? C.?0,4? D.?8,??? 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

x2?y2?1的离心率是 ；渐近线方程是 . 9.双曲线C:410.若等比数列?an?满足a1?a3?5且公比q?2,则a3?a5? . ?11.在?ABC中，a?3,b?13,B?60,则C? ；?ABC的面积为 . 12.已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y?2x?1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是 .

13.已知函数f(x)?asinx?23cosx的一条对称轴为x???6,f(x1)?f?x2??0,且函

数f(x)在?x1,x2?上具有单调性，则x1?x2的最小值为 . 14.函数f(x)?ae?bex?x?a?R,b?R?,已知f(x)的最小值为4，则点?a,b?到直线

2x?y?2?0距离的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）

2

2设函数f(x)?2sin??x??cos??x??23cos??x??3???0?的图象上相邻最高点与最低

点的距离为?2?16.

（Ⅰ）求函数f(x)的周期及?的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间．

16.（本小题满分13分）

某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生，理化历，史地政。其中，选择理化生的共有24人，绚丽理化历的共有16人，其余人选择了史地政。现采用分层抽样的方法从中抽取6人，调查他们每天完成作业的时间。 （Ⅰ）应从这三个组合中分别抽取多少人？

（Ⅱ）若抽出的6人中有 4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内。先从这6人中随机抽取3人进行座谈。

用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数，求随机变量X的分布列和数学期望。

17.（本小题满分14分）

在四棱锥P?ABCD中,平面ABCD?平面PCD,底面ABCD为梯形，

AB//CD,AD?PC,M为PD中点，过A,B,M的平面与PC交于N,DC?23,DA?PD?2,AB?1,?PDC?120?,

（Ⅰ）求证：N为PC中点； （Ⅱ）求证：AD?平面PCD；

（Ⅲ）T为PB中点，求二面角T?AC?B的大小.

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