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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）

章末复习提升 新人教A版必修1

1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．

2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点．

3．应用指数函数y＝a和对数函数y＝logax的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．

4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．

5．理解幂函数的概念、图象和性质．

在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α分两种情况进行讨论，即分α＞0和α＜0两种情况．

6．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各

x

类中两两相比较．

7．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．

8．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．

题型一 有关指数、对数的运算问题

指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．

指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．

例1 (1)化简

a－8ab4b＋2ab＋a2334133

23÷?1－2

??

3b?3

?×ab；

a?

332log5(2)计算：2log32－log3＋log38－25.

9

解 (1)原式＝

ab132

13a－8b1313＋2ab＋a13×

2

a131313×ab＝

1313a13a－8ba－8b×a×ab131313a－2b3＝ab.

3322?log5(2)原式＝log34－log3＋log38－5

9

392?log5＝log3(4××8)－5＝log39－9＝2－9＝－7.

32

2lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log5跟踪演练1 (1)求＋5＋164的值．

log54·log25

3(2)已知x＞1，且x＋x＝6，求x－x－1

12?12.

32lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log5解 (1)＋5＋164

log54·log25

3lg 2＋3lg 5－lg 2－lg 54＝＋2＋(2)4

2log52·log25＝

3－1

＋2＋8＝11. 2

311－1??2?(2)22＝x＋x－2＝6－2＝4， ?x－x?

12?1212?12又x＞1，∴x－x＞0，∴x－x＝2.

题型二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质

函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂函数、指数函数、对数函数三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．

1x例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝??.

?2?

(1)画出函数f(x)的图象；

(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

1x解 (1)先作出当x≥0时，f(x)＝??的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)

?2?在x∈(－∞，0)时的图象．

(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 跟踪演练2 (1)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x－4x＋4的图象的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)函数y＝

的图象大致是( ) x3－1

2

x3