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x2y23已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?过点A(2,0),离心率为. ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点B(1,0)且斜率为k（k?0）的直线l与椭圆C相交于E,F两点，直线AE，AF分别交直线x?3 于M，N两点,线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k?，求证: k?k?为定值.

（20）（本小题满分13分）

由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，?10?(x1,x2,,x10)，设S(?)??|2xk?3xk?1|，其中x11?x1.

k?1（Ⅰ）若??(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)，求S(?)的值； （Ⅱ）求证：S(?)?55； （Ⅲ）求S(?)的最大值.

(注：对任意a,b?R，a?b?a?b?a?b都成立.)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

记为

数学学科测试答案（文史类） 2013.4

一、选择题： 题号 答案 （1） A （2） C （10） （3） B （11） （4） D （5） D （12） （6） A （7） D （13） （8） B （14） 二、填空题： 题号 （9） 答案 y2?8x 20 2；10 113 ； 714?0,1? ??5,5? （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f(x)?31?cos?x1sin?x?? ……………………………………………1分 22231sin?x?cos?x 22?). ……………………………………………………4分 6 ? ?sin(?x?因为f(x)最小正周期为?，所以??2.………………………………………………5分 于是f(x)?sin(2x?由2k???). 6??????2x??2k??，k?Z，得k???x?k??. 26236??所以f(x)的单调递增区间为[k??,k??]，k?Z.……………………………8分

36???7?（Ⅱ）因为x?[0,]，所以2x??[,]， …………………………………10分

26661?则??sin(2x?)?1. …………………………………………………12分

26?1所以f(x)在[0,]上的取值范围是[?,1]. ………………………………………13分

22（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分 （Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为

则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为

3， 53．………………6分, 5（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量

等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为： （29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）

（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.

其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43）， （53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78）， （75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则P(A)?11. 2511． 25所以这两个城市空气质量等级相同的概率为

…………………………………………………………………13分

（17）（本小题满分14分） P 证明：（Ⅰ）因为E,F分别为侧棱PB,PC的中点， 所以 EF因为BCBC． AD，所以EFAD．

E

F

而EF?平面PAD，AD?平面PAD， 所以EF平面PAD． ……………………………………………………4分 A B

C

D

（Ⅱ）因为平面ABCD?平面PAC，

平面ABCD平面PAC?AC，且PA?AC，PA?平面PAC.

所以PA?平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PA?AD． 又因为AB?AD，PA而AD?平面AFD，

所以平面AFD?平面PAB．……………………………………………………8分 （Ⅲ）存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直.

在棱PC上显然存在点F,使得AF?PC. 由已知，AB?AD，BCAB?A，所以AD?平面PAB，

AD，AB?BC?1，AD?2．

由平面几何知识可得 CD?AC．

由（Ⅱ）知，PA?平面ABCD，所以PA?CD，

因为PAAC?A，所以CD?平面PAC．

而AF?平面PAC，所以CD?AF． 又因为CDPC?C,所以AF?平面PCD.

2,?PAC?90?，

在?PAC中，PA?2,AC?可求得，PC?6,PF?26． 3可见直线AF与平面PCD能够垂直，此时线段PF的长为（18）（本小题满分13分）

26．……………14分 3解：(Ⅰ)由f(x)?x2?(a?2)x?alnx可知，函数定义域为xx?0， 且f?(x)?2x?(a?2)???aa.由题意，f?(2)?4?(a?2)??1， x2解得a?2.……………………………………………………………………………4分

a(2x?a)(x?1)?(x?0). xxa 令f?(x)?0，得x1?1，x2?.

2a（1）当a?0时，?0，令f?(x)?0，得x?1;令f?(x)?0，得0?x?1.

2（Ⅱ）f?(x)?2x?(a?2)?则函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,??).

aa?1，即0?a?2时，令f?(x)?0，得0?x?或x?1. 22a则函数f(x)的单调递增区间为(0,)，(1,??).

2a令f?(x)?0，得?x?1.

2a则函数f(x)的单调递减区间为(,1).

2a（3）当?1，即a?2时，f?(x)?0恒成立，则函数f(x)的单调递增区间为(0,??).

2aa（4）当?1，即a?2时，令f?(x)?0，得0?x?1或x?，

22a则函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(,??).

2a令f?(x)?0，得1?x?.

2a则函数f(x)的单调递减区间为(1,). ……………………………………13分

2（2）当0?