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2019年
1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义，能准确地利用全称量和存在量词叙述数学内容．(重点) 2.能判定全称命题与存在性命题的真假．(难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．全称量词与全称命题
(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“?x”表示“对任意x”．
(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：?x∈M，p(x)． 2．存在量词和存在性命题
(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“?x”表示“存在x”．
(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：?x∈M，p(x)． 3．全称命题的否定
全称命题p ?x∈M，p(x) 4.存在性命题的否定 存在性命题p ?x∈M，p(x) ﹁﹁p ﹁结论 全称命题的否定是存在性命题 ?x∈M，p(x) p ﹁结论 存在性命题的否定是全称命题 ?x∈M，p(x) [基础自测] 1．判断正误：
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( )
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( ) (3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( ) (4)?x∈M，p(x)与?x∈M，p(x)的真假性相反．( )
【解析】 (1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分，是存在量词． (2)√.由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确． (3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词． (4)√.命题p与其否定p真假性相反． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．命题“?x∈R，|x|＋x≥0”的否定是________.
【导学号：95902036】
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﹁
2019年
【解析】 原命题为全称命题其否定为“?x0∈R，|x0|＋x<0”． 【答案】 ?x0∈R，|x0|＋x0<0
[合 作 探 究·攻 重 难]
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用量词表示命题 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示．并判断其真假． (1)对任意实数α，有sinα＋cosα＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (4)存在实数x0，使得
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2
2
x－x0＋1
＝2.
[思路探究] 判断全称命题还是存在性命题 →用符号“?”或“?”表示
【自主解答】 (1)是全称命题，用符号表示为“?α∈R，sinx＋cosα＝1”，是真命题． (2)是存在性命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(3)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题． (4)是存在性命题，用符号表示为“?x0∈R，[规律方法]
1．有些命题不是典型的全称命题或存在性命题，却表达了相应的意义，这时可适当引入量词，用量词表示命题，准确体会命题的含义．
2．用符号“?”“?”表示含有量词的命题时，将存在量词改为“?”，全称量词改为“?”，注意必要时需引入字母来表达命题的含义．
[跟踪训练]
1．用符号“?”与“?”表示下列命题： (1)实数的绝对值大于等于0；
(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；
(3)任意的实数a，b，c满足a＋b＋c≥ab＋bc＋ac.
【导学号：95902037】
【解】 (1)?x∈R，|x|≥0. (2)?(x，y)∈R，x＋y＜1.
(3)?a，b，c∈R，a＋b＋c≥ab＋bc＋ac.
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1
＝2”，是假命题．
x－x0＋1
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含有量词的命题的真假判断
2019年
判断下列命题的真假：
(1)若a＞0且a≠1，则?x0∈R，ax0＞0； 12
(2)?x∈R，都有x－x＋1>；
2(3)?x0，y0∈N，使2x0＋y0＝3.
[思路探究] 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断． 【自主解答】 (1)∵a>0，∴当x＝1时，a＝a>0，成立，∴(1)为真命题． 1?1?33122
(2)∵x－x＋1＝?x－?＋≥>，∴x－x＋1>恒成立，∴(2)是真命题．
2?2?442(3)当x0＝0，y0＝3时，2x0＋y0＝3满足题意，∴(3)是真命题． [规律方法] 全称命题与存在性命题真假判断的方法： 1对于全称命题“?x∈M，px”：
①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明 px成立；
②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使 px0不成立即可.通常举反例
2存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.
[跟踪训练]
2．判断下列命题中的真假： (1) ?x∈R,2
x－1
2
x>0 ；(2)?x∈N，(x－1)>0；
*2
(3)?x0∈R，lg x0<1 ；(4)?x0∈R，tan x0＝2. 【解】 (1)命题“?x∈R,2
*
2
x－1
>0”是全称命题，易知2
x－1
>0恒成立，故是真命题；
2
(2)命题“?x∈N，(x－1)>0”是全称命题，当x＝1时，(x－1)＝0，故是假命题； (3)命题“?x0∈R，lg x0<1”是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题； (4)命题“?x0∈R，tan x0＝2”是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题.
含有一个量词的命题的否定 写出下列命题的否定，并判断真假： 12
(1)p：?x∈R，x－x＋≥0；
4(2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：?x0∈R，x0＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数x0，使x0＋1＝0.
【导学号：95902038】
[思路探究] 首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题，然后针对量词和结论两个方面进行否定． 1﹁2
【自主解答】 (1)p：?x0∈R，x0－x0＋ <0，假命题．
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