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课时分层作业 七十五 绝对值不等式

(45分钟 60分)

1.(10分)(2018·保定模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|-2. (1)求不等式f(x)≥1的解集.

2

(2)若关于x的不等式f(x)≥a-a-2在R上恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)原不等式价于

或或

解得:x≤-或x≥,

所以不等式的解集为.

(2)因为f(x)=|x-1|+|x+1|-2≥|(x-1)-(x+1)|-2=0,

2

且f(x)≥a-a-2在R上恒成立,

2

所以a-a-2≤0,解得-1≤a≤2, 所以实数a的取值范围是-1≤a≤2. 2.(10分)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R. (1)解不等式f(x)

(2)若对于x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)<1. 【解析】(1)不等式f(x)

故不等式f(x)

(2)因为|x-y-1|≤,|2y+1|≤, 所以f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|

≤|2(x-y-1)|+|(2y+1)|≤2×+<1.

【变式备选】(2016·江苏高考)设a>0,|x-1|<,|y-2|<, 求证:|2x+y-4|

【证明】由|x-1|<可得|2x-2|<,

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|2x+y-4|≤|2x-2|+|y-2|<+=a.

3.(10分)已知函数f(x)=|x+2|+|x+a|(a∈R).

(1)若a=5,求函数f(x)的最小值,并写出此时x的取值集合. (2)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)若a=5,

f(x)=|x+2|+|x+5|=其图象如图:

所以f(x)的最小值为3,使f(x)取得最小值的x的集合为{x|-5≤x≤-2}. (2)f(x)=|x+2|+|x+a| =|x-(-2)|+|x-(-a)|,

由绝对值的几何意义可知,f(x)为数轴上的动点x与两个定点-2,-a的距离的和, 如图:

当动点x与-2重合时,|x-(-2)|最小为0,要使f(x)≥3恒成立, 则|-2-(-a)|≥3,即|a-2|≥3, 得a-2≤-3或a-2≥3, 所以a≤-1或a≥5.

4.(10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.

(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=2时,f(x)=解不等式

+2,

+2≤6得-1≤x≤3.

.

因此f(x)≤6的解集为(2)当x∈R时, f(x)+g(x)=≥=

+a,

+a+

+a

所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于

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+a≥3①,

5.(10分)(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)= (1)求实数a的取值范围.

的定义域为R.

(2)若a的最大值为k,且m+n=2k(m>0,n>0),求证:+≥3.

【解题指南】(1)利用绝对值的几何意义,求出表达式的最小值,即可得到a的取值范围.

(2)由(1)可得m+n=3,则

=(m+n)=,根据基本不等式即可证明.

【解析】(1)因为|2x-1|+|x+1|-a≥0, 所以a≤|2x-1|+|x+1|,

根据绝对值的几何意义可得|2x-1|+|x+1|的最小值为,所以a≤.

(2)由(1)可知a的最大值为k=, 所以m+n=3,

所以=(m+n)

=≥=3,当且仅当n=2m时等号成立,

问题得以证明.

6.(10分)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│ (1)求不等式f(x)≥1的解集.

2

(2)若不等式f(x)≥x-x+m的解集非空,求m的取值范围. 【解析】(1)当x≤-1时,

f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解. 当-1

f(x)=x+1+(x-2)=2x-1.

令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2. 当x≥2时,

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