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27.1 坐标系与坐标变换

【知识网络】

1. 几种常用的坐标系：直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系及其相互转化. 2. 平面坐标系中几种常见变换：平移变换、伸缩变换. 【典型例题】

例1.（1）点M的直角坐标是(?1,A．(2,3)，则点M的极坐标为 （C）

?2??) B．(2,?) C．(2,) D．(2,2k??),(k?Z)

33332?提示：(2,2k??),(k?Z)都是点M的极坐标.

3?（2）在极坐标系中有下列各点：

A(?,?),B(?,??),C(?,???),D(?,???)，E(??,?),

F(??,??)(其中??0).给出下列结论：①C,D两点关于极轴所在的直线对称；②A,E两点关于

过原点且垂直于极轴的直线对称；③C,E两点重合；④B,D两点关于极点对称；⑤A,F两点重合.其 中正确的结论是 （A）

A．①③④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．①②③ 提示：在极坐标系中作出上述各点即可.

?X?xY22?1，则曲线C （3）伸缩变换的坐标表达式为?，曲线C在此变换下变为椭圆X?16?Y?4y的方程为 （A）

A．x2?y?1 B．x?y?4 C．x?y?16 D．

22222y2x??1

42提示：直接将??X?x代入的方程.

?Y?4y（4）已知空间点

?5?A的球坐标为(2,,)，则A点的空间直角坐标为____________.

44(?1,?1,?2)

提示：设一点的球坐标为(r,?,?)，直角坐标为(x,y,z)， 则x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?.

（5）在极坐标系中，若点

A,B的坐标分别为(3,),(4,?)，则|AB|?_________，S?AOB

36? .（其中O是极点）

??5,6

提示：?AOB??2， ∴?AOB为直角三角形.

例2.设平面上伸缩变换的坐标表达式为?并指出变换后的方程表示什么曲线.

?X?3x22，求圆x?y?16在此伸缩变换下的方程，

?Y?2y1?x?X??X?3x?3解：由?可得??Y?2y?y?1Y??2，代入圆的方程得

X2Y2X2Y2??16，即??1， 9414464它表示中心在原点、焦点在x轴上的椭圆.

例3.证明：以A(4,1,9),B(10,?1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形.

证明：

AB?(6,?2,?3),AC?(?2,3,?6).

∵不存在实数?满足又因为|AB??AC, ∴A,B,C三点不共线,即可以构成三角形.

AB|?|AC|?7, ∴?ABC是等腰三角形.

例4.在x轴上求一点，使它到点解:设所求的点为C(x,0,0),|A(?4,1,7)与到点B(3,5,?2)的距离相等.

AC|?(x?4)2?1?72?x2?8x?66, |BC|?(x?3)2?52?(?2)2?x2?6x?38, ∵|AC|?|BC|,

∴x2?8x?66?x2?6x?38, 解之得x??2. ∴所求的点为(?2,0,0).

【课内练习】

1.在极坐标系中，点(4,?)和(?4,?)的位置关系是 （D）

33?A. 表示同一点 B．关于极点对称

C．关于极轴对称 D．关于过极点且垂直于极轴的直线对称 2.空间一点的直角坐标为(1,1,3)，则其在相应的柱坐标系中的坐标为 （B）

y,z?z. x??7?)； 3. 点M(5,)为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①(?5,?)；②(5,666?7?).其中可以作为点M关于极点的对称点的坐标的是 （C） ③(?5,)；④(?5,?66提示：设该点在相应的柱坐标系中的坐标为(?,?,z)，则?2?x2?y2,tan??A.①② B．①③ C．②③ D．②④ 提示：在极坐标系中画出各点，或根据极坐标的意义.

4..平面直角坐标系中，点P(?4,3)按向量aA.

?(?1,?5)平移至点Q，则点Q的坐标为（B）

(?3,8) B．(?5,?2) C．(3,?8) D．(5,2)

(x?,y?)?(?4,3)?(?1,?5)?(?5,?2)

的要求下,它的极坐标为 .

提示：设点Q的坐标为(x?,y?)，则

5. 点M的直角坐标为(3,?1),在??0,0???2?(2,11?) 6?3,y??1， ∴??x2?y2?2，tan??提示：点M的直角坐标为xy3??x3

6. 在直角坐标系中，点A(2,?3)关于直线x?提示：设点

y?1?0对称的点是 . (?2,1)

A关于直线x?y?1?0对称的点为B(x,y)，则AB的中点为M(y?1?0上，且直线AB与直线x?y?1?0垂直.

2x?2y?3,)， 22点M在直线x?7.双曲线9x?16y2?36x?32y?124?0的焦点坐标为 ；将此双曲线

按向量a平移后，可化为标准方程，则a提示：将9x2? . (?3,1),(7,1)；(?2,?1)

?16y2?36x?32y?124?0配方，得9(x?2)2?16(y?1)2?144?0，

(x?2)2(y?1)2??1. ∴双曲线的中心为(2,1)，对称轴平行于坐标轴，又c?5， 即

169∴焦点坐标为(?3,1),(7,1). 设a?(h,k)，则有2?h?0,1?k?0.

8.求直线l:2x?3y?12?0按向量a?(?2,3)平移后的方程.

解：设直线l上任意一点的坐标为(x?,y?)，平移后的直线上任意一点的坐标为(x,y)，

?x?x??2?x??x?2则有?， 即?，代入直线l的方程，得2(x?2)?3(y?3)?12?0，

???y?y?3?y?y?3化简得2x?3y?1?0. ∴直线l平移后的方程为2x?3y?1?0.

9.把圆x2?y?4沿x轴方向均匀压缩为椭圆.

2Y2X??1，写出坐标变换公式.

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