内容发布更新时间 : 2024/12/27 7:43:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§3.2 导数的应用

最新考纲 考情考向分析 考查函数的单调性、极1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，值、最值，利用函数的会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题). 性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.

1.函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果

f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.

2.函数的极值

(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 概念方法微思考

1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示 不正确，正确的说法是：

可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有

f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ ) (2)函数的极大值一定大于其极小值．( × )

(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 题组二 教材改编

2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 答案 C

解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)是增函数． 3．函数f(x)＝e－x的单调递增区间是________． 答案 (0，＋∞)

解析 由f′(x)＝e－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)．

xx4．当x>0时，lnx，x，e的大小关系是________． 答案 lnx

1

解析 构造函数f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯

xxx一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以lnx

5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案

23a 27

2

xx解析 容积V＝(a－2x)x,0

2由V′＝0得x＝或x＝(舍去)，

62

a223

aaa23

则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a.

627

题组三 易错自纠

6．函数f(x)＝x＋ax－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案 [－3,0]

解析 f′(x)＝3x＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0]．

1332

7．(2018·铁岭质检)若函数f(x)＝x－x＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的

32值为________． 答案 －4

解析 f′(x)＝x－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，

∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4.

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8．若函数f(x)＝x－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.

3答案 4

解析 f′(x)＝x－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.

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3

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