内容发布更新时间 : 2024/5/22 6:47:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?u?2u1. 等步长网格分布情况下的一阶向前差分、2的二阶中心差分表达式。（P89）

?x?xui?1,j?ui,j?u（）??(?x) i,j?一阶向前差分：

?x?xui?1,j?2ui,j?ui?1,j?2u2（）???(?x)2i,j二阶中心差分：

?x(?x)22. 简述计算流体力学的特点及其应用领域。

CFD是以计算机作为模拟手段，运用一定的计算技术寻求流体力学各种复杂问题的离散化数值解。它的主要特征：(1)数值解而不是解析解；(2)计算技术起关键作用；(3)与计算机的发展紧密相关。（成本较低，适用范围宽，可靠性差，表达困难）应用领域：航空、航天、气象、船舶、武器装备、 水利、化工、建筑、机械、汽车、海洋、体育、环境、卫 生等 3. 简答题

1) 什么是差分方程的相容性?

差分方程与微分方程的差别是截断误差R。必要时通过缩小空间步长（网格尺寸）h和时间步长t，这一误差应可缩小至尽可能小。当h->0和t->0时，若R->0，则差分方程趋于微分方程，表示这两个方程是一致的。这时称该差分方程与微分方程是相容的。 2) 什么是差分解的收敛性?

当微分方程在离散为差分方程来求解，当步长h?0时，存在着差分方程的解yn能够收敛到微分方程的准确解y(xn)，这就是差分方法的收敛性。

收敛性定义：对于任意节点的xn?x0?nh，如果数值解yn当h?0（同时n??）时趋向于准确解y(xn)，则称该方法是收敛的。 3) 什么是差分解的稳定性?

数值计算时，除计算机舍入误差（字长有限）外，初始条件或方程中某些常数项也有可能给的不尽精确。舍入误差和这些误差在计算过程中可能一步步积累与传递，误差的传递，有时可能变大，有时可能变小。某一步舍入误差放大或缩小的问题，称为差分解的数值稳定性问题。

稳定性定义：对于存在正常数h0和对于每个?的扰动满足

??maxs(x)??时，

x?Ih?0存在一个正常数?，使得当初值和右端

原方程与扰动方程的解对一切满足估计式x?Ih的。

maxy(x)?y(x)??，则称该格式是稳定

4) 描述收敛性与稳定性关系的Lax定理，并指出其适用范围。

LAX等价定理：对适定的线性初值问题来说，如果差分方程与微分相容，则稳定是收敛的充分必要条件。其适用范围：仅适用于线性问题。 5) 对于双曲型方程的显式格式，其CFL条件指的是什么?

双曲型方程显式差分格式收敛的必要条件（CFL条件）是：差分方程的依赖域必须包括相应微分方程的依赖域。（具体表达见纸质版）

6) 常用的离散化方法都有哪些?

（1）有限差分法（2）有限元法（3）有限体积法（4）有限分析法（5）边界元法（6）谱方法 4. 何为问题的适定性? 并说明在计算流体力学研究中，检查物理问题的数学表述是否适定的重要

性?

适定性是指如果偏微分方程的解存在且唯一，解连续地依赖于初始条件和边界条件，则问题是适定的。其重要性：在试图得到一个数值解之前，检查问题是否适定非常重要。因为不正确或是不准确的边界条件及初始条件有时也会取得数值解。

5. 网格在CFD计算中有怎样的作用? 目前比较常用的网格类型都有哪些?

网格是CFD的几何表达形式，是模拟和分析的载体，其质量对CFD计算的精度和效率影响很大。比较常用的网格类型有：（1）结构化网格（六面体网格单元）（2）非结构化网格（四面体，六面体，菱形网格单元）

6. 从差分方程所对应的修正方程出发，论述计算网格以及高精度差分格式对NS方程数值求解的重

要性。

三维流动无量纲化的N-S方程可写成：

这里x, y, z分别表示流向、周向和物面法向的坐标，并为了简单，略去了无量纲化的方法和方程中各项及各个符号意义的说明。ReL是以物体长度L为特征长度的雷诺数。

如果采用m阶精度的差分格式求解无量纲化的N-S方程, 与m阶精度的差分格式等价的修正方程是

式中△x ,△y,△z表示网格间距；O(△xm,△ym,△zm , …)表示截断误差项, 它们是m阶以上的小量。 修正方程可进一步写成：

选择 ，使其满足

于是：

这样，与m阶精度的差分格式等价的修正方程则可进一步写成：

对于高雷诺数流动, 除非很大, 粘性项的贡献是比较小。采用差分方法要能正确计算这些小量

项的贡献，必须要求截断误差项比粘性项的贡献要小很多。 至此，我们可以看出：

如果所采用的网格和计算格式使α>m，则x方向原本小的粘性项的贡献被落入截断误差范围；同样如果β>m 或者γ>m 时, 则所用网格和差分格式使y方向或z方向原本小的粘性项的贡献被落入截断误差范围。只有当α,β,γ 分别取值小于或远小于m时， 所采用网格和差分格式才能比较正确地计入各方向的粘性贡献。这也进一步表明：当α,β,γ分别取值m时,就可以得出x, y, z方向的临界网格间距△x*,△y*,△z* 其意义是：

当实际采用的计算网格△x,△y,△z分别小于或远小于临界网格间距时，x, y, z方向的粘性效应就能被正确计入。否则， 如果某方向所用的网格间距大于该临界网格值时，则该方向的粘性效应可能就落入截断误差的范围。

在很多采用二阶差分格式求解N-S方程的计算中，x, y方向的网格没有达到临界值的要求。因为z方向的网格，在物面附近采用了压缩技术，在物面附近，相应的γ

鉴于二阶格式求解N-S方程时对网格要求的上述困难，采用高阶格式，可以解决这个矛盾，因此发展高阶精度的差分格式是很有意义的。