内容发布更新时间 : 2024/6/29 3:44:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数列

热点一 数列的通项与求和

数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例1】 (满分12分)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式；

??an??

?(2)求数列2n＋1?的前????

n项和.

教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由Sn求an，本题第(2)问源于教材必修5P47B组T4，主要考查裂项相消法求和. 满分解答 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①

故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②1分 (得分点1) ①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝

2

，4分 (得分点2) 2n－1

又n＝1时，a1＝2适合上式，5分 (得分点3) 从而{an}的通项公式为an＝

??an??

(2)记?2n＋1?的前

????

2

.6分 (得分点4) 2n－1

n项和为Sn，

由(1)知an211

＝＝－，8分 (得分点5) 2n＋1（2n－1）（2n＋1）2n－12n＋1

1?1??11??1?

则Sn＝?1－3?＋?3－5?＋…＋?2n－1－2n＋1? 10分 (得分点6)

??????＝1－

12n

＝.12分 (得分点7) 2n＋12n＋1

得分要点

?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的

关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.

?得关键分：(1)an－1满足的关系式，(2)验证n＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.

?得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).

【类题通法】求数列通项与求和的模板

第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项. 第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和. 第三步：明确规范地表述结论.

【对点训练】设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an；

1

(2)设bn＝S，求数列{bn}的前n项和为Tn.

n解 (1)设数列{an}的公差为d，

?3a1＋3d＝a1＋6d，

由题意得?

（a＋7d）－2（a＋2d）＝3，?11解得a1＝3，d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. (2)由(1)得Sn＝na1＋

n（n－1）

d＝n(n＋2)， 2

1?11?1

－??. ∴bn＝＝

n（n＋2）2?nn＋2?∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn

1??11??1??11?1???1

＝2??1－3?＋?2－4?＋…＋?n－1－n＋1?＋?n－n＋2??

??????????

111?1?

＝2?1＋2－n＋1－n＋2?

??1?31?1

＋＝4－2?n＋1n＋2?. ??

【例2】已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根. (1)求{an}的通项公式；

?an?

(2)求数列?2n?的前

??

n项和.

解 (1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3， 由题意得a2＝2，a4＝3.

1

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝2， 3

从而a1＝2.

1

所以{an}的通项公式为an＝2n＋1.

??an??

(2)设?2n?的前

????

ann＋2

n项和为Sn，由(1)知2n＝n＋1，

2

n＋1n＋234

则Sn＝22＋23＋…＋2n＋n＋1，

2n＋1n＋2134

S＝＋＋…＋＋. 342n222n＋12n＋21?n＋231?1?n＋213?1

＋…＋1－3???两式相减得2Sn＝4＋?22n＋1?－2n＋2＝4＋4?2n－1?－2n＋2. ?所以Sn＝2－

n＋4. 2n＋1【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)

若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)