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1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
x???xosx?，x?0f?x???，在x?0处连续，则a? _____________.
?x?0（1）已知?a，?2（2）设y?ln1?x,则y??x?0?_____________. 21?x
（3）
?dx?_____________.
x?4?x?（4）设
???0dx?_____________.
x2?4x?8（1,2?1,1），?,2?（2,0，t,0）,?3?(0,?4,5,?2)的秩为2，则t=_____________. （5）已知向量组?1?二、选择题 1.设x?0,时，e （A）1
tanx?ex与xn是同阶无穷小，则n为（ ）
（C）3
（D）4
（B）2
b1???(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f(x)?0,f(x)?0.记S1??f(x)dx,S2?f(b)(b?a),S3?[f(a)?f(b)](b?a),a2则（ ） (A)S1?S2?S3 (C)S3?S1?S2
(B) S2?S3?S1 (D)S2?S1?S3
2?x(3)已知函数y?f?x?对一切x满足xf???x??3x[f??x?]?1?e,若f??x0??0?x0?0?,则（ ）
(A)f?x0?是f?x?的极大值 (B)f?x0?是f?x?的极小值
(C)?x0，f(x0)?是y?f（x）的拐点
?x0,f(x0)?也不是曲线y?f?x?的拐点 (D)f?x0?不是f?x?的极值，(4)设F(x)??x?2?xesintsintdt,则F(x)（ ）
(B)为负常数
(C)恒为零
(D)不为常数
(A)为正常数
??x2,x?0?2?x,x?0,f?x???,则g[f?x?]为（ ） （5）.设g?x??????x,x?0?x?2,x?0?2?x2,x?0 （A）?
?2?x,x?0
?2?x2,x?0（B）?
?2?x,x?0- 1 -
?2?x2,x?0 （C）? ?2?x,x?0?2?x2,x?0（D）? ?2?x,x?0三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分） （1）求极限lim4x2?x?1?x?1x?sinx2x???. （2）设y?y?x?由??x?arctantdy所确定，求. 2tdx?2y?ty?e?5（3）计算e2x(tanx?1)2dx. ?（4）求微分方程3x?2xy?ydx?x?2xydy?0的通解。 x2xx?xx2x?x（5）已知y1?xe?e,y2?xe?e,y3?xe?e?e是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。 ?22??2??11?1???2（6）已知A?011，且A?AB?E,其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B. ????00?1?? 四、（本题满分8分） ?2x1??x2?x3?1? ?取何值时，方程组??x1?x2?x3?2无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。 ?4x?5x?5x??123?1 五、（本题满分8分） 0?为L上一定点，若极径OM0、OM与曲线L所 设曲线L的极坐方程为r?r???,M?r,??为L上的任一点，M0?2，围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。 六、（本题满分8分） 设函数f?x?在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足xf??x??f?x??3a2x?a为常数?，又曲线2y?f?x?与x?1,y?0所围成的图形S的面积值为2，求函数y?f?x?，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。 七、（本题满分8分） 1f?x??2，设??x???f?xt?dt,求???x?,并讨论???x?的连续性 已知函数f?x?连续，且lim0x?0x八、（本题满分8分） 就k的不同取值情况，确定方程x?
??（0，）sinx?k在开区间内根的个数，并证明你的结论。 ,22- 2 -
1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
（1）设
y?(x?e),则y?x?0?_____________.
22?x223
（2）（x?1?x）dx?_____________.
?1?1
（3）微分方程的y???2y??5y?0通解为_____________.
（4）limx?sinln(1?)?sinln(1?)??_____________.
x??xx（5）由曲线y?x?二、选择题 1.设x?0时，e?(ax?bx?1)是比x高阶的无穷小，则（ ） x22??31??1,x?2及y?2所围图形的面积S?_____________. x1,b?1 21 （C）a??,b??1 2 （A）a? （B）a?1,b?1 （D）a??1,b?1 (2)设函数f?x?在区间内有定义，若当x?(??,?)时，恒有f?x??x2,则x?0必是f?x?的（ ） （??，?） (A)间断点
(B)连续而不可导的点 (D)可导的点，且f??0??0
(C)可导的点，且f?(0)?0 (3)设f(x)处处可导，则（ ）
(A)当limf?x????,必有limf??x????
x???x???(B)当limf??x????,必有limf?x????
x???x???
(C)当limf?x????,必有limf??x????
x???x???(D)当limf??x????,必有limf?x????
x???x???
（??，??）内，方程x?x?cosx?0（ ） (4)在区间
(A)无实根 (C)有且仅有两个实根
(B)有且仅有一个实根 (D)有无穷多个实根
1412（5）.设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)?f(x)?m(m为常数)，由曲线y?g(x),y?f(x),x?a及x?b所围平面图形绕直线y?m旋转体体积为（ ） （A） （C）
??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx
ab（B）（D）
??[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx
ab?ba?[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx
??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx
ab三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）
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