内容发布更新时间 : 2025/1/9 17:55:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一元二次方程求根公式

孟庄中学

（一）教学目标：

知识与技能目标：学生能理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程．

过程与方法目标：学生经历用配方法探索求根公式 ( b2－4ac≥0 ) 的过程，体验用根公式解一元二次方程的方法.培养学生抽象思维能力.

情感与态度目标：学生在探索和应用求根公式中，进一步认识特殊与一般的关系，培养学生抽象思维能力,渗透辩证唯物主义观点。 （二）教学重点：

一元二次方程的求根公式． （三）教学难点：

求根公式的条件：b -4ac 0

(四)教学方法:自学自悟 讲练结合法 （五）教学准备： 课件、多媒体． （六）教学过程：

教学过程 设计思路 媒体应用分析

一.复习旧知,激趣导入 1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程

（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7

提问1 这种解法的（理论）依据是什么？

提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。）

2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）

（课件演示）用配方法解方程 4x2－12x－1=0 3x2+12x－3=0 (老师点评）略

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为 的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p± 如果q＜0,方程无实根． 通过复习旧知,与学生已有的知识经验联系起来,激发学生的学习兴趣,由问题引出课题. 展示课题、复习旧知 的内容、学生活动的

内容、配方法的步骤,为本节课做好铺垫. 二、自学探索活动

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+ x=-

配方，得：x2+ x+（ ）2=- +（ ）2 即（x+ ）2 =

∵4a2>0， 当b2-4ac≥0时 ≥0 ∴（x+ ）2 =( )2

直接开平方，得：x+ =± 即x= ∴x1= ，x2=

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，?将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 教师点拨 由以上研究的结果,得到了一元二次方程 的求根公式： （ ）

这个公式说明方程的根是由方程的系数 、 、 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 、 、 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 思考：这里为什么要强调? ，如果 方程有实数根吗？ 通过学生自己观察、讨论、交流理解一元二次方程求根公式的推导过程,用配方法探索出求根公式 ( b2－4ac≥0 )

学生又一次复习了配方法,能更进一步调动学生学习数学的热情.师生共同探讨,归纳出运用求根公式解一元二次方程的方法.

呈现过程，掌握方法，体会数学的美，感受数学的趣，领悟数学的理。课件展示,快速省时,能为学生快速掌握求根公式提供帮助,突破教学重点和难点. 三.实际运用

(一)解下列方程： 1、 ； 2、 ； 3. ； 4、

教师点拨： （1）对于方程（2）和（4），首先要把方程化为一般形式； （2）强调确定 、 、 值时，不要把它们的符号弄错； （3）先计算的 值，再代入公式。 (二)、（补充）解方程 解：这里 ， ， ，

因为负数不能开平方，所以原方程无实数根 展示学生活动的内 容、教师点拨内容,

师生互动,鼓励学生 发表自己的见解,共 同分享成功的喜悦,

补充内容是为了拓宽学生的知识面.

课件展示学生练习题,醒目、省时.能调动学生做数学练习题的热情.

四、反思总结

让学生反思以上解题过程，归纳得出： 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根；

当 时，方程没有实数根。 通过归纳得出的结果 有大于零、等于零、小于零三种情况,有利于学生用求根公式 ( b2－4ac≥0 ) 正确解一元二次方程． 课件展示 有大于零、等于零、小于零三种情况,眉目清楚,利于对比,有利于学生理解和掌握.

五.知识的升华 某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题．

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元一次方程,m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ① 或② 或③ 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0

当m= ─1时，m+1= ─1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1

b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x=

x1=1 x2=-

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2= ─ ． （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．

②当m2+1=0，m不存在．

③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．

当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1

当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-

因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=- ．