内容发布更新时间 : 2024/5/7 5:40:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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因动点产生的相似三角形问题

关键词：动点、相似三角形

动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个，

定理1：两个角对应相等，两三角形相似 ‘AA” 定理2：两边对应成比例且夹角相等 “SAS” 定理3：三边对应成比例。 “SSS”

相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．

如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分

ABDEABDF和两种情况列方程． ??ACDFACDE应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 两个直角三角形相似的判定方法

（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似． （2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． （3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．

如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。 题型一般有是否存在点P，使得： ①△PDE∽△ABC

②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似 或者通过动点产生相似解决有关问题

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一般以大题为主，也有出现在填空后两题。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程 ：

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角． 的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示 各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

涉及知识点： 全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直角三角形中锐角三角函数，勾股定理，求线段的长，要用到两点间的距离公式。

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例1、(2014·浙江湖州，24，12分)

已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、

y轴分别相切于点M和点N.点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E.设点F运动的时间是t秒(t>0)．

(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE＝PF；

(3)作点F关于点M的对称点F′.经过M，E，F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，

O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 连结PM，PN.

∵⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM＝PN， ∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°. ∵PE⊥PF，∴∠1＝∠2＝90°－∠3. ∠1＝∠2，

??

在△PMF和△PNE中，?PM＝PN，

??∠PMF＝∠PNE.∴△PMF≌△PNE，∴PE＝PF. (2)解 分两种情况：

①当t>1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，

由(1)得△PMF≌△PNE，

图1

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