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格林生平及格林函数

乔治.格林（1793-1841），英国数学物理学家。1801年至1802年读过不到两年的小学，之后一直在家中打理生意，在这期间他从未间断自学，先后阅读了包括拉普拉斯Laplace的天体力学和拉格朗日Lagrange的关于数学物理方面的著作，英国伦敦皇家学会的年鉴，法国科学家毕奥Biot，库仑Coulomb以及泊松Poisson等人的论著。1828年格林出版了他的最重要的科学著作《关于数学分析应用于电磁理论的一篇论文》(An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism)。1833年进入剑桥最古老的学院之一Gonville and Caius学院学习, 并于1837年以优异成绩毕业。1837年到1839年格林至少发表了6 篇文章, 其中一篇是研究波在波导中传播规律的, 另外几篇文章分别涉及流体力学、声学、光学等内容。

18世纪的数学物理学家们在对牛顿的万有引力的深入研究中引入了位势的概念U(x,y,z), 它满足方程:

?U?x22??U?y22??U?z22?0

此即为位势方程, 也叫拉普拉斯方程。位势第一次是以速度势S(x,y,z)的概念出现在欧拉Euler1752年的重要论文《流体运动原理》之中。

泊松进一步发展了位势方程，他指出对于体系内部的U(x,y,z)满足：

?U?x22??U?y22??U?z22??4PQ

其中Q?Q(x,y,z)为吸引体的质量密度，此方程称为泊松方程。利用泊松方程，在导体内部静电合力为零的理论指导下，泊松解决了在相互邻近的导体表面上电荷分布的许多问题，并指出势函数或许可用在电学方面的研究中。而格林最终将

把位势函数引入电磁学研究中的想法变成了现实。

在格林1928年的著名论文中，他证明了格林公式：

（u?蝌蝌V2vv?u）dV2ò （u?Svvv炎u）dS

并利用这一公式，解决了拉普拉斯方程下满足第一类边界条件的位势问题。格林引入了满足以下条件的函数v，用u在边界上的值u0来表示物体内部的u，其中v满足如下条件：

1）v在所研究区域表面上必须为零；2）在区域内部一点P，v像1/r这样变为无穷，其中r是点P与区域内部任意点间的距离；3）v在内部必须满足位势方程。这样，u在任意区域内点便可表示为：

u=-ò蝌4PS1u0?v?ndS0

vv这个函数v后来从黎曼Riemann开始称之为格林函数。现在通常以G(r,r')表示格林函数v，在电学中其含义是位于点r'的电荷量为e0d(r-r')的点电荷在r处的电势。

对于第三类边界条件[Avvvvvv?u?n+Bu]S=g(M)下的拉普拉斯方程?u20，令格

林函数G(r,r')满足第三类齐次边界条件，则有：

[A?G?n+BG]S=0

则方程的解可表示为：

1vu(r)=-Aò蝌SvvvG(r,r')g(r')dS'

而对于更加复杂的泊松方程?2uu(r)=v它在第一类、第三类边界条件下的解为 f(r)，

1vvvG(r,r')f(r')dV'+蝌蝌AVò SvvvG(r,r')g(r')dS'

因此只要确定了相应物理意义下的格林函数，就可以求拉普拉斯方程甚至泊松方

程的边值问题，此即为格林函数法。

v根据高斯散度定理，在闭合面S所包围的体积V中，对任意矢量A有：

v炎Adv=蝌Vvv?A ndSS

令A=f y，其中f和y是在区域V内两个任意标量场，现在：

v炎A=炎(f?y)f?y2v炎f y

?yvf炎yn=f?n

将上两式代入散度定理，可得格林第一恒等式：

(f?y蝌V2炎f?y)dvvf炎ydS=蜒S Sf?y?ndS

因为f和y是任意选取的，因此上式也可以写为：

(y?f蝌V2炎y?f)dvy炎f蜒SvdS= Sy?f?ndS

以上二式相减，便可得到：

(f?y蝌V2y?f)dv2?(fS抖y抖n-yfn)dS

此即为格林第二恒等式或者格林定理。