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1-7-两个重要极限练习题

严谨 规范 求真 铸魂

1-7 两个重要极限练习题

教学过程：

引入：考察极限limsinx

x?0x问题1：观察当x?0时函数的变化趋势： x(弧度) sinxx0.50.10.00.00.00.00 0 5 4 3 2 ... 0.90.90.90.90.90.9585 983 996 997 998 999 ... sinxxsinx当x取正值趋近于0时，?1，即limxx?0?=1；

当x取负值趋近于0时，-x?0, -x>0, sin(-x)>0．于是

x?0lim?sinxsin(?x)?lim??x?0x(?x)．

综上所述，得

x 一．limsin?1． xx?0x limsin?1的特点： xx?0 (1)它是“0”型，即若形式地应用商求极限的0法则，得到的结果是0； 0

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(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂． 推广 如果lim?(x)=0,(a可以是有限数x0,

x?a??或?)， 则

x例1 求limtan． xx?0limx?asin???x????x?=lim???xsin???x???0??x?=1．

解

limtanxx?0x=

sinxsinx1sinx1limcosx?lim??lim?lim?1?1?1x?0x?0xxcosxx?0xx?0cosx．

例2 求limsinx3x．

x?0 解

limsin3xx?0x3xsint=lim3sin(令3x?t)3lim?3． 3xtx?0t?0例3 求lim1?xcosx．

x?02 解

lim1?cosxx?0x2=lim2sin2x2x?0xxxxsin2sinsin2?lim2?lim1?2?2?1x?0x?02xxx22()2222．

x例4 求limarcsin． xx?0解 令arcsinx=t，则x=sint且x?0时t?0．

xt所以limarcsin=lim?1． xsintx?0t?0例5 求limtanxx?sinx．

x?03 解

limtanx?sinxx?0x3=

sinx1?cosx?sinxsinx?cosxlimcosx3?lim3x?0x?0xx