内容发布更新时间 : 2024/5/22 17:54:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

学习必备 欢迎下载 1、抽象函数的对称性 性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。 2、复合函数的对称性 性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称 性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称 推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 3、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b| 例1、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ） A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C） 练习、（河南省郑州市20XX年高中毕业班第一次质量预测数学（理））定义在R上的函数f(x)的反函数为f?1(x)，且对于任意x?R，都有f(?x)?f(x)?3，则f?1(x?1)?f?1(4?x)?（ ） A．0 答案：A B．?2 C．2 D．2x?4 学习必备 欢迎下载 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。 分段函数的周期：设y?f(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y?f(x),x??a,b?,T?b?a。把y?f(x)沿x轴平移KT?K(b?a)个单位即按向量a?(kT,0)平移，即得y?f(x)在其他周期的图像：y?f(x?kT),x??kT?a,kT?b?。 x??a,b??f(x) f(x)????f(x?kT) x?kT?a,kT?b? 2、奇偶函数： 设y?f(x),x??a,b?或x???b,?a???a,b? ①若f(?x)??f(x),则称y?f(x)为奇函数； ②若f(?x)?f(x)则称y?f(x)为偶函数。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点A(x,y)与B(2a?x,2b?y)关于点(a,b)对称； ②点A(a?x,b?y)与B(a?x,b?y)关于(a,b)对称； ③函数y?f(x)与2b?y?f(2a?x)关于点(a,b)成中心对称； ④函数b?y?f(a?x)与b?y?f(a?x)关于点(a,b)成中心对称； ⑤函数F（x,y)?0与F(2a?x,2b?y)?0关于点(a,b)成中心对称。 （2）轴对称：对称轴方程为：Ax?By?C?0。 ①点A(x,y)与B(x/,y/)?B(x?2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)关于A2?B2A2?B2学习必备 欢迎下载 直线Ax?By?C?0成轴对称； ②函数y?f(x)与y?2B(Ax?By?C)2A(Ax?By?C)?f(x?)关于直线 2222A?BA?BAx?By?C?0成轴对称。 ③F(x,y)?0与F(x?2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)?0关于直线 A2?B2A2?B2Ax?By?C?0成轴对称。 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数y?f(x)图象本身的对称性（自身对称） 若f(x?a)??f(x?b)，则f(x)具有周期性；若f(a?x)??f(b?x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、f(a?x)?f(b?x) ?y?f(x)图象关于直线x?(a?x)?(b?x)?a?b对称 22推论1：f(a?x)?f(a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论2、f(x)?f(2a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论3、f(?x)?f(2a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 2、f(a?x)?f(b?x)?2c ?y?f(x)的图象关于点(a?b,c)对称 2推论1、f(a?x)?f(a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)?f(2a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(?x)?f(2a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数y?f(x)与y?f(?x)图象关于Y轴对称 2、奇函数y?f(x)与y??f(?x)图象关于原点对称函数 3、函数y?f(x)与y??f(x)图象关于X轴对称 4、互为反函数y?f(x)与函数y?f?1(x)图象关于直线y?x对称