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第二十六单元 静电场中的导体

[课本内容] 马文蔚，第四版，上册 [6]-[40] [典型例题]

例26-1．如图示，A、B为靠得很近的两块平行的大金属平板，两板的面积均为S，板间的距离为d。今使A板带电量为QA，B板带电量为QB，且QA＞QB。则A板的内侧带电量为________________；两板间电势差UAB=________________。

提示：设A、B板上的电荷面密度从上到下依次为?1,?2,?3,?4，则

?1??2?QAS， ?3??4?QBS

取向下为电场强度的正向。导体A、B内的电场强度为0 导体A内：

?1?2?3?4????0， 2?02?02?02?0导体B内：

?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0解出

?1??Q?QBQA?QBQ?QB，?2?A ? UAB?2d?Ad 2S2S?o2?0S 例26-2．两导体球A、B．半径分别为R1 = 0.5 m，R2 =1.0 m，中间以导线连接，两球外分别包以内半径为R =1.2 m的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地，导体间的介质均为空气，如图所示．已知：空气的击穿场强为3×106 V/m，今使A、B两球所带电荷逐渐增加，计算：

(1) 此系统何处首先被击穿？这里场强为何值? B (2) 击穿时两球所带的总电荷Q为多少？ A R2 (设导线本身不带电，且对电场无影响．)

R R R1 解：(1) 两导体球壳接地，壳外无电场．导体球A、B外的

电场均呈球对称分布．

先比较两球外场强的大小，击穿首先发生在场强最大处．设击穿时，两导体球A、B所带的电荷分别为Q1、Q2，由于A、B用导线连接，故两者等电势，即满足：

Q2?Q2Q1?Q1???

4??0R14??0R4??0R24??0RQ1/Q2?1/7

代入数据解得

两导体表面上的场强最强，其最大场强之比为

2Q1Q2Q1R24?/?? 222E2max4??0R14??0R2Q2R17B球表面处的场强最大，这里先达到击穿场强而击穿，即

E1max E2max?Q26?3?10 V/m 24??0R2-

(2) 由E2 max解得 Q2 =3.3 ×104 C

- Q1?Q2/7?0.47×104 C

-击穿时两球所带的总电荷为 Q = Q1+ Q2 =3.77×104 C

例26-3．厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为? ．试求图示离左板面距离为a的一点与离右板面距离为b的一点之间的电势差．

解：选坐标如图．由高斯定理，平板内、外的场强分布为： E = 0 (板内) Ex???/(2?0) (板外) 1、2两点间电势差

b?d/2??dx??dx U1?U2??Exdx???2?2?00?(a?d/2)d/21??(b?a)2?0

2?1adOb2x

?d/2

例26-4半径分别为R1和R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳，分别带有电荷Q1和Q2，今将内球壳用细导线与远处半径为r的导体球相联，如图所示, 导体球原来不带电，试求相联后导体球所带电荷q．

解：设导体球带电q，取无穷远处为电势零点，则 导体球电势：

U0?q4??0r

R2

OR1r内球壳电势：

U1?Q1?qQ2?4??0R14??0R2

二者等电势，即

Q?qQ2q?1?4??0r4??0R14??0R2

解得

q?r(R2Q1?R1Q2)

R2(R1?r)练习二十六

一、选择题：

26-1．半径分别为R和r的两个金属球，相距很远．用一根细长导线将两球连接在一起

并使它们带电．在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比?R / ?r为 ［ ]

(A) R / r ． (B) R2 / r2． (C) r2 / R2． (D) r / R ．

提示: UR?Ur∴

Q14??0R2?Q24??0r

2 Q1??R?4?R,Q2??r?4?r ∴?RR=?rr ∴

?Rr? ∴(D)正确 ?rR

26-2．两个同心薄金属球壳，半径分别为R1和R2 (R2 > R1 )，若分别带上电荷q1和q2，则两者的电势分别为U1和U2 (选无穷远处为电势零点)．现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为 ［ ］ (A) U1． (B) U2． (C) U1 + U2． (D)1/2 (U1?U2)

提示: U1?q14??0R14??0R24??0R24??0R2q1?q2 连接后: U? ∴U?U2 ∴(B) 正确

4??0R2

26-3．三块互相平行的导体板，相互之间的距离d1和d2比板面积线度小得多，外面二板用导线连接．中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为?1和?2，如图所示．则比值?1 / ?2为 ［ ］ (A) d1 / d2． (B) d2 / d1． (C) 1． (D) d2/d1． 提示:如图: ∵UAB?UAC ∴E1d1?E2d2

∴

22?q2,U2?q1?q2

?1?2d1d2 ?1?2?d1??d2 ∴(B) 正确 ?0?0

-26-4．一孤立金属球，带有电荷 1.2×108 C，已知当电场强度的大小为 3×106 V/m时，空气将被击穿．若要空气不被击穿，则金属球的半径至少大于 ［ ］

-- (A) 3.6×102 m． (B) 6.0×106 m．

--(C) 3.6×105 m． (D) 6.0×103 m．

提示: E?Q4??0R2 ∴(D)正确

26-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一带有电荷为+Q的带电导