内容发布更新时间 : 2024/5/3 10:05:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§11.4. 隐函数存在定理在几何方面的应用 一、空间曲线的切线与法平面 1. 设空间曲线C的参数方程是 x=x(t),y=y(t),z=z(t),t∈I（区间）.

它们在区间I可导，且?t∈I,有x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)≠（即0x'(t),y'(t),z'(t)不同时为0）.取定t0∈I，对应曲线C上一点P0(x0,y0,z0)=P0[x(t0),y(t0),z(t0)].任取改变量?t≠0，使t0+?t∈I，对应曲线C上另一点 P1(x0+?x,y0+?y,z0+?z) =P1[x(t0+?t),y(t0+?t),z(t0+?t)].

由空间解析几何知，过曲线C上两点P0与P1割线方程是 或 x-x0y-y0z-z0==, ?x?y?zx-x0y-y0z-z0==. ?x?y?z

?t?t?t

当点P1沿曲线C无限趋近于点P即?t→0，割线P0P1的极限位置就是曲0时， 线C上点P0的切线.于是，曲线C上点P0的切线方程是 x-x(t0)y-y(t0)z-z(t0)==. x'(t0)y'(t0)z'(t0)

切线的方向向量T[x'(t0),y'(t0),z'(t0)]称为曲线C在点P0的切向量. 一个平面通过空间曲线C上一点P且与过点P称此0的切线垂直，0(x0y0,z0)，平面是空间曲线C在点P0的法平面.如图11.4.于是切线的切向量就是法平面的

法向量.若在法平面上任取一点P(x,y,z)，则向量P0P=(x-x0,y-y0,z-z0)与切 线的切向量T[x'(t0),y'(t0),z'(t0)]垂直，即

(x'(t0),y'(t0),z'(t0))?(x-x0,y-y0,z-z0)=0. 由向量的内积（向量的数量积）公式，法平面的方程是 1

x'(t0)(x-x0)+y'(t0)(y-y0)+z'(t0)(z-z0)=0 或 x'(t0)[x-x(t0)]+y'(t0)[y-y(t0)]+z'(t0)[z-z(t0)]=0.

在t0=例1. 求螺旋线x=acost,y=asint,z=bt π 3

处的切线方程与法线方 程.

解： x'=-asint,

y'=acost,z'=b. 切线方程是 x-acos π =

y-asinacos π

= z-bb π . -asin x- 3 3

πayz-b . ==即

b2 法线方程是

?a?a???π?

x-?+ y-+bz-b?=0. ? ??2?2???3?

2. 设三维欧氏空间R3的曲线C是由函数方程组F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0上所确定，即曲线C是这两个曲面的交线.在空间曲线C上任取一个定点

P(x0,y0,z0)，即F1(x0,y0,z0)=0与F2(x0,y0,z0)=0.设F1(x,y,z)与F2(x,y,z)对 x,y,z的偏导数在点P的邻域内都连续，且 ?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2) 不同,,

?(x,y)P?(y,z)P?(z,x)P 时为零，不防设

?(F1,F2) ≠0.根据§11.1定理4，在点x0某邻域，空间曲线C

?(y,z)P

可表为 y=y(x) 与 z=z(x). 于是，空间曲线C可表为以x为参数的参数方程 x=x, y=y(x),z=z(x).

dydzdydz,)，下面求,. dxdxdxdx

从而，空间曲线C在点P的切线向量是T(1, 由隐函数的求导公式，有

??F1?F1dy?F1dz??x+?ydx+?zdx=0,? ? ??F2+?F2dy+?F2dz=0.??ydx?zdx??x ?(F1,F2)?(F1,F2)

dydz?(z,x)?(x,y)=解得 ， =. dxdx1212

?(y,z)?(y,z)

由切线方程的公式，三维欧氏空间R3曲线C在点P(x0,y0,z0)的切线方程是 x-x0y-y0z-z0 ==1?(F1,F2)?(F1,F2) ?(z,x)P?(x,y)P ?(F1,F2)

?(y,z)P?(F1,F2)?(y,z)P

或 x-x0y-y0z-z0. （1） ==?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)

?(y,z)P?(z,x)P?(x,y)P

三维欧氏空间R3曲线C在点P(x0,y0,z0)的法平面方程是 ?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2) (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0. （2）?(y,z)P?(z,x)P?(x,y)P

例2. 求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点P(1,-2,1)的切线方程与法平面 方程.

解： F1=x2+y2+z2-6,

?F1=2x,?x

?F2=1,?xF2=x+y+z. ?F1=2z, ?z?F2=1. ?z?F1=2y,?y?F2=1,?y ?(F1,F2)?(F1,F2)?(F1,F2)=-6 =0 =6 ?(y,z)p?(z,x)p?(x,y)p

由公式（1）与（2），曲线在点P(1,-2,1)的切线方程与法平面方程分别是 x-1y+2z-1==. -606

与 -6(x-1)+6(z-1)=0 或 x-z=0. 二、曲面的切平面与法线

1. 设三维欧氏空间R3曲面S的方程是

z=f(x,y), (x,∈y)（区域）D 由§10.3定理3知，若二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)∈D可微，则曲面S上点M(x0,y0,z0)(z=f(x0,y0))的切平面方程是

fx'(x0,y0)(x-x0)+fy'(x0,y0)(y-y0)-(z-z0)=0,

即切平面的法向量是n(fx'(x0,y0),fy'(x0,y0),-1).于是，法线方程是 x-x0y-y0z-z0==. fx'(x0,y0)fy'x(0y,0)-1 2. 设曲面S的方程是