内容发布更新时间 : 2024/5/22 9:38:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
【选题明细表】 知识点、方法 函数极值与最值的关系 函数的最值 由函数最值求参数(或范围) 函数最值的应用 综合应用 【基础巩固】 1.下列说法正确的是( D )
(A)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 (B)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值
(C)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
(D)若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则可有多个极值
解析:由极值与最值的区别知选D.
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2.函数f(x)=x-3x(|x|<1)( D ) (A)有最大值,但无最小值 (B)有最大值,也有最小值 (C)无最大值,但有最小值 (D)既无最大值,也无最小值
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解析:f′(x)=3x-3=3(x+1)(x-1),因为x∈(-1,1),
所以f′(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.故选D. 3.函数f(x)=3x-x(-≤x≤3)的最大值为( B ) (A)18 (B)2 (C)0 (D)-18
解析:f′(x)=3-3x,令f′(x)=0,得x=±1,-≤x<-1时,f′(x)<0,
-1 又f(-)=0,f(3)=-18,所以[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18.故选B. 3 4.(2018·大同高二检测)函数f(x)=x-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( B ) (A)[0,1) (B)(0,1) 23 题号 1 2,3,6,13 4,5,7,10 9,11 8,12 (C)(-1,1) (D)(0,) 解析:因为f′(x)=3x-3a,令f′(x)=0,可得a=x有解,又因为x∈(0,1),所以0 2 2 5.(2017·东莞市高二期末)已知a∈R,若不等式ln x-+x-2>0对于任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围为( C ) (A)(-∞,2] (B)(-∞,1] 1 (C)(-∞,-1] (D)(-∞,0] 2 解析:由已知得,a 2 令f(x)=xln x+x-2x(x>1),则f′(x)=ln x+2x-1, f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增,故f(x)>-1,故a≤-1.故选C. 6.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是 ,最小值是 . 解析:因为y′= 令y′=0可得x=1或-1. =, 又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-, 所以最大值为2,最小值为-2. 答案:2 -2 2 7.(2018·包头高二月考)函数f(x)=x+2ax+1在[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为 . 解析:f′(x)=2x+2a, f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以x∈[0,1]时,f′(x)≤0恒成立, f′(1)=2+2a≤0,所以a≤-1. 答案:(-∞,-1] 32 8.(2018·北海高二检测)已知函数f(x)=-x+3x+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最 小值. 解:(1)f(x)定义域为R, 2 因为f′(x)=-3x+6x+9. 令f′(x)<0,解得x<-1或x>3, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)由(1)及已知,f(x)在[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上是增函数, 因为f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2). 于是有22+a=20,所以a=-2. 32 所以f(x)=-x+3x+9x-2. 所以f(-1)=1+3-9-2=-7, 即f(x)最小值为-7. 【能力提升】 9.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x) 解析:[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)<0, 2 所以函数f(x)-g(x)在[a,b]上单调递减, 所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).故选A. 2 10.(2018·桂林高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( D ) (A)1 (B) (C) (D) 解析:|MN|的最小值,即函数h(x)=x-ln x的最小值,h′(x)=2x-= 2 ,显然x=是函数 h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t= x . 11.已知函数f(x)=e-2x+a有零点,则a的取值范围是 . xxx 解析:函数f(x)=e-2x+a有零点,即方程e-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-e,y=a有交点,而 xx g′(x)=2-e,易知函数g(x)=2x-e在 (-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而 xx g(x)=2x-e的值域为 (-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-e,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可. 答案:(-∞,2ln 2-2] 12.(2018·郑州高二质检)已知函数f(x)=(a-)x+ln x(a∈R). (1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围. 2 解:(1)当a=1时,f(x)=x+ln x,x>0, 2 f′(x)=x+=; 对于x∈[1,e],有f′(x)>0, 所以f(x)在区间[1,e]上为增函数, 所以f(x)max=f(e)=1+, f(x)min=f(1)=. (2)令g(x)=f(x)-2ax =(a-)x-2ax+ln x, 在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立, 3 2