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22.2.4 一元二次方程根的判别式

知识点 1 不解方程，判断一元二次方程的根的情况

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1， 因为关于x的一元二次方程x＋x＋2＝0中，a＝________，b＝________，c＝________，故Δ＝____________＝________，所以方程的根的情况是______________．

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2．［2017·宜宾］一元二次方程4x－2x＋＝0的根的情况是( )

4

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断

3．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

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(1)16x＋8x＝－3; (2)9x＋6x＋1＝0；

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(3)3(x－1)－5x＝0; (4)x(2x＋3)＝4x＋6.

知识点 2 根据方程根的情况确定未知字母的值或取值范围

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4．［2017·安顺］若关于x的方程x＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )

A．0 B．－1 C．2 D．－3

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5．如果关于x的一元二次方程x－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，那么c的取值范围是________．

知识点 3 证明含有字母的一元二次方程根的情况

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6．［2016·临夏州］已知关于x的方程x＋mx＋m－2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m的值；

(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

7．［2017·包头］若关于x的不等式x－＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程

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ax2＋ax＋1＝0根的情况是( )

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定

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8．［2016·枣庄］若关于x的一元二次方程x－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )

图22－2－3

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9．［教材练习第2题变式］［2017·大庆模拟］关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)，给出下列说法：①若a＋c＝0，则方程必有两个实数根；②若a＋b＋c＝0，则方程

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必有两个实数根；③若b＝2a＋3c，则方程有两个不相等的实数根；④若b－5ac<0，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

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10．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(b－c)x＋2(a－b)x＋b－a＝0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状，并说明理由．

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1．1 1 2 1－4×1×2 －7 没有实数根 2．B

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3．解：(1)将一元二次方程化为一般形式，得16x＋8x＋3＝0. ∵a＝16，b＝8，c＝3，

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∴b－4ac＝64－4×16×3＝－128<0， ∴此方程没有实数根． (2)∵a＝9，b＝6，c＝1，

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∴b－4ac＝36－36＝0，

∴此方程有两个相等的实数根．

(3)将一元二次方程化为一般形式，得 2

3x－5x－3＝0.

∵a＝3，b＝－5，c＝－3，

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∴b－4ac＝(－5)－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0， ∴此方程有两个不相等的实数根．

2

(4)将一元二次方程化为一般形式，得2x－x－6＝0. ∵a＝2，b＝－1，c＝－6，

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∴b－4ac＝(－1)－4×2×(－6)＝49＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． 4．D

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5．c＞9 6．解：(1)根据题意，将x＝1代入方程x＋mx＋m－2＝0，得1＋m＋m－2＝0， 1解得m＝. 2

(2)证明：∵Δ＝m－4×1×(m－2)＝m－4m＋8＝(m－2)＋4＞0， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 7．C 8． B 9．A

10．这个三角形是等腰三角形．理由： ∵一元二次方程有两个相等的实数根，

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∴b－c≠0，[2(a－b)]－4(b－c)(b－a)＝0，

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∴a－2ab＋b－(b－bc－ab＋ac)＝0，

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∴a－ab＋bc－ac＝0，

从而a(a－b)－c(a－b)＝0， ∴(a－b)(a－c)＝0， ∴a－b＝0或a－c＝0， ∴a＝b或a＝c，

∴这个三角形是等腰三角形．

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