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改进的小波阈值去噪方法在外汇市场中的应用

作者：柳建芳 陈 龙 李 辰

来源：《金融经济·学术版》2010年第10期

摘要:金融时间序列本质上具有非平稳性、非线性、信噪比低的特点,因此在对其进行分析前,有必要消去一些随机噪声。传统的软、硬阈值去噪方法分别存在偏差和方差过大的缺点。本文在硬、软阈值方法基础上,改进了阈值函数的选取,引入硬、软阈值折中函数和改进的指数型阈值函数的小波去噪方法。并利用Matlab对四种去噪方法进行了对比,结果表明硬软阈值折中方法去噪效果要优于其他方法,并将该去噪方法应用在外汇市场中,给外汇走势的分析者提供了数据处理工具。

关键词:小波理论;阈值去噪;Matlab仿真;信噪比 一、引言

基于小波阈值去噪方法的核心是小波系数的估计,阈值函数体现了几种系数的不同处理策略以及不同的估计方法。然而,在硬阈值的处理过程中,得到的估计小波系数值连续性差,可能引起重构信号的震荡;而用软阈值法处理后,估计小波系数值虽然连续性好,易于处理,但由于当小波系数较大时,估计值与原来的小波系数值有固定的偏差,这将直接影响重构信号与真实信号的逼近程度,给重构信号带来不可避免的误差。本文在传统阈值函数去噪方法的基础上,引入硬、软阈值折中函数和改进的指数型阈值函数小波去噪方法,利用Matlab仿真将其与传统的阈值去噪方法进行比较,结果表明硬软阈值折中方法去噪效果要优于其他的阈值去噪方法,同时利用这种方法进行实证分析,将其应用在外汇时间序列数据去噪处理中,得到较好点的去噪效果。 二、小波阈值去噪模型的建立

对金融时间序列来说,很难给噪声下一个准确的定义,那些随机性强、无法从中找出有价值的规律的信号都可以视为噪声信号。因此,为了防止去掉有价值的信号,我们一般只将那些频繁,幅度不大的波动作为噪声,而它们一般表现为高斯白噪声形式。因此含噪信号模型可表示为:Xt=Dt+σεt,其中,εt～N(0,1),即服从标准正态分布,σ为噪声的标准差。对带噪信号Xt=Dt+σεt作离散小波变换后,得到的小波系数Wj,k由两部分组成,一部分是真实信号Dt对应的小波系数,记为dj,k,另一部分是噪声et对应的小波系数,记为ej,k。小波阈值去噪方法在最小均方误差(MSE)意义上是有效的,并且已经取得了广泛的应用,此方法的基本思想是: (1)对带噪信号Xt作小波变换,得到一组小波系数Wj,k;

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(2)通过对Wj,k进行阈值处理,得到估计小波系数 ,使得 尽量小; (3)利用 进行小波重构,得到估计信号,即为去噪后的信号。

小波去噪的效果取决于以下两点:1)去噪后的信号应该和原信号有同等的光滑性;2)信号经处理后的均方根误差(RMSE)越小,信噪比(SND/dB)越大,效果越好,它们的定义形式分别为: 其中x(j)为原始信号在取样点j 的

幅值, 为消噪后的信号在位置j的幅值,N为信号长度。因此,如何选择阈值和如何利用阈值来量化小波系数,将直接影响到小波去噪结果。 三、小波系数的阈值处理过程 3.1阈值的选取

由前述阈值法去噪的原理可知阈值是区分信号和噪声的分水岭。阈值太高,会引起信号失真,太低则又去噪不完全。一般的,阈值的确定主要基于这样几项准则:

(1)无偏风险估计准则(RIGRSURE)即一种基于Stein的无偏似然估计原理的自适应阈值选择方法。对每个阈值,求出对应的风险值,风险最小的即为所选。

(2)固定阈值准则(SQTWOLOG)设n为小波系数向量长度,则对应的阈值为:。

(3)混合准则(HEURSURE)它是RIGRSURE和SQTWOLOG准则的混合,其阈值方法为:首先判断两个变量Eta和Crit的大小,若Eta

(4)极小极大准则(MINIMAXI)也是一种固定阈值选择形式。由于去噪信号可假设为未知回归函数的估计量,则极小极大估计量是实现在最坏条件下最小均方误差最小量。其阈值是针对标准差为1的高斯白噪声而言,因此实际阈值应取为,其中σ为噪声的标准差。

对于汇率市场的高频信号数据,本文采用了极小极大准则(MINIMAXI)进行阈值处理。 3.2常用的阈值处理函数

阈值确定后,利用阈值函数对阈值进行处理。传统处理阈值的阈值函数可以分为以下两种,一为硬阈值函数;二为软阈值函数。其估计小波系数的表达式分别为:硬阈值法保留较大的小波 系数将较小的小波系数置零,即 ;而软阈值法将较小的小波系数置零,对较大的小波系数向零进行了收缩,

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即 。软、硬阈值方法虽然在实际中得到了广泛的应用,也取得了较好的效果,但这些方法本身还存在一些缺陷,在硬阈值处理过程中,得到的估计小波系数连续性差,即 在Tr处是不连续的,利用 重构所得的信号可能会产生一些振荡;而软阈值方法估计小波系数虽然连续性好,但是由于当小波系数较大时, 和wj,k之间总存在恒定的偏差,这将直接影响重构信号与真实信号的逼近程度,给重构带来不可避免的误差。 3.3改进的阈值处理函数

(1)在软硬阈值函数的基础上采用软硬阈值折中的方法来进行阈值处理,可得到比单纯的硬阈值或软阈值函数更有效的去噪效果,软硬阈值折中方法的表达式如下: ,

特别的,当a分别为0和1时,上式成为硬阈值和软阈值估计方法。对于一般的0

(2)指数型阈值函数不但同软阈值函数一样具有连续性,而且当 时高阶可导的,便于进行各种数学处理,指数型阈值函数以为渐近线,随着Wj,k的增加, 逐渐接近于Wj,k,克服了软阈值函数中 与Wj,k之间存在恒定偏差的缺点,指数型阈值函数也是介于软、硬阈值函数之间的一个灵活选择,可以通过N的取值变化,得到是用有效的阈值函数,当N得取值等于Tr时,就得到改进的指数型阈值函数,其表达式为:

该函数在小波域内是连续的,它减小了软阈值方法中产生的恒定偏差,提高了重构精度,改善了去噪效果。这种阈值函数同指数阈值函数不同的是它不需要选择参数,对小波系数采取的是缓变的压缩,随着小波系数的不断增大而压缩量减小,当小波系数大于一定值时,不进行压缩处理,这样能较好的处理有用信号中存在的噪声分量。 四、实证分析

本文选取2006年9月27日~2010年7月30日欧元兑美元日收盘价为研究对象,在MatlabR2009a环境下进行去噪对比试验和实证分析,针对外汇市场时间序列数据奇异点密度非常大,消失矩不能太高,所以选择小波 sym6小波,分解层数为3层,分解结果如图1所示。然后采用软阈值函数、硬阈值函数、软硬阈值折中函数和改进的指数型阈值函数分别进行消噪。各种消噪方法得到的信噪比和均方根误差如表1所示。

由表1可知,在极小极大阈值准则下,软硬阈值折中去噪方法要优于其他的去噪方法,并且求的的最佳折中系数a=0.01。

同样在MatlabR2009a环境下,对于欧元对美元汇率序列在基于极大极小阈值条件下进行折中阈值方法去噪。如图2和图3所示,从图中可以看出利用小波去噪得到较好的效果。 五、结论