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2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编

故 I?1。 由AA?1?I有：1?I?AA?1?A?A?1，从而 A?1?221。 A7求证：A证明：A从而A2222?A1?A?。（范数的性质）

T??max(ATA)，设B?AA的最大特征值为?1，其特征向量为x?0，且Bx??1x

??max(ATA)??max(B)??1。

?1?x1??1x1?Bx1?B1?x1，?1?B1?ATA1?AT1?A1?A??A1

故A22??1?A??A1。

100???2?1?2?10?，求A，A，A和cond(A)2。8对矩阵A??（范数，条件数?12?0?1?21??01?2??0的计算）

解：行范数A??4，列范数A1?4，且A为实对称矩阵。

??2?I?A??100?1??2?100?1??2?100?(??2)4?3(??2)2?1 ?1??2其特征值分别为?2?3?53?5，?2?。 2222??3?5?3?5?T2????。 B?AA?A的特值值分别为?2?，?2???2?2?????故A2?2?22?3?53?5，cond(A)2?。 222?3?5n?n9方程组Ax?b，其中A?R，A是对称的且非奇异。设A有误差?A，则原方程组变

化为(A??A)(x??x)?b，其中?x为解的误差向量，试证明：

?x22x??x?1?A2?，其?nA2 41

2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编

中?1和?n分别为A的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）

T2证明：A是对称的且非奇异，则B?AA?A，A22??max(B)??1??1，?n?0

A?1??max[(A?1)TA?1]??max[(A2)?1]?21?n，于是，

?1?A?1?n2A2

所证明的不等式等价于

?x2?A?1?A2，亦即?x2?A?12?A2x??x2

2x??x2由(A??A)(x??x)?b，有 (I?A?1?A)(x??x)?A?1b，从而

(x??x)?A?1?A(x??x)?x，注意到A?1b?x，有A?1?A(x??x)???x

于是

?x2?A?1?A(x??x)2?A?12?A2x??x2 ?x2?A?1?A2?A?12x??x2A2?A2A22?cond(A)2?A2A2?1?A2? ?nA210证明：若A?(aij)n?n为严格对角占优矩阵，则A非奇异。（严格对角占优矩阵的性质） 解：据A严格对角占优，有aii??aj?1j?inij(i?1,2,?,n)

用反证法，假设A为奇异阵，则存在着非零向量x，使得Ax?0。 由于x?0，不妨设x1?max{x1,x2,?,xn}，则x1?0，于是

a11x1?a12x2???a1nxn?0，a11??a12xx2???a1nn x1x1a11?a12?xx2???a1n?n?a12???a1n x1x1这显然与条件相矛盾，故A为非奇异阵。

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