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2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编
第三章 函数逼近
姓名 学号 班级
习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。
1 设f(x)?sin?x，求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：??span{1,x}
11(?1,?1)??dx?1，(?1,?2)??xdx?，(?2,?2)??x2dx?
230001111(f,?1)??sin?xdx?021?，(f,?2)??xsin?xdx??0x?cos?x?11?2sin?x?01?
法方程组为
1??2?2??a1?????
??1?1??a??2???3????2解得：a1?，a2?0
???1?1??2线性最佳平方逼近多项式为：??*2?。
x2 令f(x)?e,?1?x?1，且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于[?1,1]
上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：??span{1,x}
2(?1,?1)??dx?2，(?1,?2)??xdx?0，(?2,?2)??x2dx?
3?1?1?11x?11111(f,?1)??edx?e?e，(f,?2)??xexdx?2e?1
?1?1法方程组为
?20??a1??e?e?1?2??????1? ?0a?3????2??2e?1e?1?1解得：a1?(e?e)，a2?
23e?e?1e?1?x。 线性最佳平方逼近多项式为：p(x)?23
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3证明：切比雪夫多项式序列
Tk(x)?cos(karccosx)
在区间??1,1?上带权?(x)?1/1?x2正交。（正交多项式的证明） 解：对于l?k，有
1(Tl,Tk)??10?11?x2cos(larccosx)cos(karccosx)dx
?2???11?cost?cos(lt)cos(kt)(?sint)dt??cos(lt)cos(kt)dt
01??[cos(l?k)t?cos(l?k)t]dt 20111?[sin(l?k)t?sin(l?k)t]?0?0 2l?kl?k对于l?k，有
1(Tk,Tk)??10??11?x21cos2(karccosx)dx
????1?cos2tcos(kt)(?sint)dt??cos2(kt)dt
02111???[1?cos(2k)t]dt?[t?sin(2k)t]?? 02022k2故，序列{Tk(x)}在[-1，1]上带权?(x)?11?x2正交。
?x1?x2?3?4求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。（最小二乘法）
?x?x?22?1解法一：求x1与x2，使得
f(x1,x2)?(x1?x2?3)2?(x1?2x2?4)2?(x1?x2?2)2
达到最小。于是，令
?f?2(x1?x2?3)?2(x1?2x2?4)?2(x1?x2?2)?0 ?x1 10
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?f?2(x1?x2?3)?2(x1?2x2?4)?2?2(x1?x2?2)(?1)?0 ?x2即：??3x1?2x2?9?x1?2.5714，其最小二乘解为：?。
?2x1?6x2?9?x2?0.6429解法二：
?11??3??12??x1???4?，记作AX?b，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组 ???x????2??2???1?1?????32??x1??9?AAX?Ab，即???x???9?
26???2???TT解之，得??x1?2.5714。
?x2?0.64295 已知一组试验数据
xk 2 4 2.5 4.5 3 6 4 8 5 8.5 5.5 9 yk 试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 解：作矩阵
?12??4??12.5??4.5??????13??6?A???，y???
14???8??15??8.5?????15.5??????9??法方程为
(ATA)X?(ATy)
即
22??a??40??6?2290.5???b???161.25? ??????解得：a?1.2288，b?1.4831。
x。 其直线拟合函数为y?1.2288?1.48316 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx的经验公式,使与下列数据相拟合.
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xk 19 19 25 32.3 31 49 38 44 73.3 97.8 yk （最小二乘二次逼近） 解：等价于对数据表
2 xk361 19 625 32.3 961 49 1444 1936 73.3 97.8 yk 作线性拟合。其法方程组为：
5327??a??271.4??5?53277277699???b???369321?
.5??????解得：a?0.9726，b?0.0500 故经验公式为 y?0.9726?0.05x2。
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